高校数学・2次関数

この教材は高校数学の基本問題中の２次関数の入試問題1という項目のバックアップ・コピーです． 【単元の目次】 《数学Ⅰ》 • 数と式 • 根号計算 • 場合の数.順列.組合せ • ２次不等式 • ２次関数 【単元内の項目の目次】 • 2次関数のグラフ（例題対比） • 2次関数の頂点の座標 • 放物線の頂点の座標（標準形） • 平行完成の変形1 • 平行完成の変形2 • 平行完成の変形3 • 2次関数の平行移動 • 放物線の移動 • 3点の座標→2次関数の形 • ２次関数の最大値・最小値（区間が指定されていないとき） • ２次関数の最大値・最小値（区間が固定されているとき1） • ２次関数の最大値・最小値（区間が固定されているとき2） • ２次関数の最大値・最小値（区間が変わるとき） • ２次関数の最大値・最小値（条件付など） • 2次関数のグラフと係数の符号 • 2次関数のセンター試験問題(2013～) • 2次関数の入試問題

=== ２次関数の入試問題1 === 【ポイント１】 なるべく軽い変形を考える 引用元の問題は記述式の問題ですが，以下の問題ではWeb画面上での操作性をよくするため，選択問題に変えています． まぐれ当たりでは力が付きませんので，計算用紙を使って，よく考えてから選択肢の内の１つをクリックしてください．解答すれば解説が出ます． なお，答案はこの教材の筆者が作成したものです．間違い等がありましたらお知らせください． 【問題１】 [1] 放物線y=−x2+6x+3の頂点の座標は（ア，イ）である． （東海大2014年度） 解説 やり直す (−3,−6) (−3,9) (3,−6) (3,12) (6,9) y=−(x2−6x)+3 …(*1) =−{(x−3)2−9}+3 …(*2) =−(x−3)2+9+3 =−(x−3)2+12 頂点の座標は（3, 12） (*1)　定数項は最終的に外に出すので，この段階でかっこ内に入れない方がよい． (*2)　この変形が苦手な人は y=−(x2−6x+9−9)+3 =−{(x−3)2−9}+3 のように先に2乗の展開式を作ってから考えてもよい

[2] 放物線y=2x2+ax+bの頂点の座標が（1, 3）であるとき， a=，b=である． （北海道工業大2011年度） 解説 やり直す a=4, b=5 a=4, b=−5 a=−4, b=5 a=−4, b=−5 数学的に方針を決めて，算数的に計算するのがよい． 　→ 小さな道具でエコに！ 下の（別解）のような解き方もあるが，労力は多くなる． y=2(x−1)2+3 とおけるから y=2(x2−2x+1)+3 =2x2−4x+5 a=−4, b=5 （別解） …(*1) …(*2) (*1)よりa=−4 これを(*2)に代入するとb=5

【ポイント２】 2次関数（放物線）の移動は，頂点の移動で捉えられる． 【問題２】 [1] ２次関数y=−x2+2x+3のグラフを原点に関して対称に移動し，さらにx軸方向にa，y軸方向にb平行移動すると頂点の座標が(1, 1)となった．このときa=セ，b=ソである． （玉川大2014年度） 解説 やり直す a=2, b=3 a=2, b=5 a=4, b=3 a=4, b=5 y=−x2+2x+3=−(x2−2x)+3 =−{(x−1)2−1}+3 =−(x−1)2+4 …(*1) の頂点は(1, 4) 原点に対称に移動すると，頂点は(−1, −4)で凹凸は逆になるから y=(x+1)2−4 …(*2) 平行移動して頂点を(1, 1)になるようにすると y=(x−1)2+1 …(*3) (*2)から(*3)に移動するには，x軸方向に2，y軸方向に5平行移動 ※y=f(x)の「グラフを」点対称移動，平行移動したグラフの方程式を求める公式もあるが，この問題のような2次関数の移動は「頂点の移動」と「凹凸の形」で考える方が簡単になる． [2] 　２次関数y=−2x2−2x−3のグラフをx軸に平行に アイ，y軸に平行にウ移動すると，２次関数y=−2x2−6x−5のグラフになる． （中部大2005年度） 解説 やり直す x軸方向に1，y軸方向に2 x軸方向に1，y軸方向に−2 x軸方向に−1，y軸方向に2 x軸方向に−1，y軸方向に−2 このグラフの頂点の座標は…(*1) このグラフの頂点の座標は…(*2) したがって，(*1)から(*2)へx軸方向に−1，y軸方向に2平行移動

[3] 　座標平面上に２つの放物線C1:y=2x2−4x+3とC2:y=−2x2+5x−6がある．C1を原点に関して対称移動した放物線をC3とする．C2はどのように平行移動するとC3に重なるか． （北海学園大2016年度） 解説 やり直す x軸方向に，y軸方向に x軸方向に，y軸方向に x軸方向に，y軸方向に x軸方向に，y軸方向に このグラフの頂点の座標は(1, 1)で，x2の係数は2（下に凸）…(*1) C3は頂点の座標が(−1, −1)で，x2の係数は−2（上に凸）…(*2) このグラフの頂点の座標はで，x2の係数は−2（上に凸）…(*3) C2からC3へは x軸方向に y軸方向にの平行移動となる

【ポイント３】 x軸と接する条件は （Ⅰ）　数学Ⅰの知識だけで調べるには 頂点のy座標が0になること （Ⅱ）　数学Ⅱも習った後では y=ax2+bx+cに対して 判別式D=b2−4ac=0 【問題３】 [1] ２次関数y=x2+px+pのグラフがx軸に接するとき，pはアまたはイとなる． （東京工芸大2005年度） 解説 やり直す 0, 2 0, −4 0, 4 −2, 2 −4, 4 （数学Ⅰの範囲で頂点のy座標を使う場合） の頂点のy座標は だから （判別式を使う場合） D=p2−4p=0 p(p−4)=0 p=0, 4

[2] y=x2+px+q (pq≠0)のグラフが点(1, 1)を通り，x軸に接するとき， p=ウ，q=エである． （立教大2011年度） 解説 やり直す 0, 2 0, −4 0, 4 −2, 2 −4, 4 （数学Ⅰの範囲で頂点のy座標を使う場合） (1, 1)を通るから 1=1+p+q q=−p このとき の頂点のy座標は だから p, q≠0だからp=−4 このとき，q=4 （判別式を使う場合） (1, 1)を通るから 1=1+p+q q=−p y=x2+px−pについて D=p2+4p=0 p(p+4)=0 p=0, −4 p, q≠0だからp=−4 このとき，q=4