高校数学・2次関数

この教材は高校数学の基本問題中の２次関数の最大値・最小値という項目のバックアップ・コピーです． 【単元の目次】 《数学Ⅰ》 • 数と式 • 根号計算 • 場合の数.順列.組合せ • ２次不等式 • ２次関数 【単元内の項目の目次】 • 2次関数のグラフ（例題対比） • 2次関数の頂点の座標 • 放物線の頂点の座標（標準形） • 平行完成の変形1 • 平行完成の変形2 • 平行完成の変形3 • 2次関数の平行移動 • 放物線の移動 • 3点の座標→2次関数の形 • ２次関数の最大値・最小値（区間が指定されていないとき） • ２次関数の最大値・最小値（区間が固定されているとき1） • ２次関数の最大値・最小値（区間が固定されているとき2） • ２次関数の最大値・最小値（区間が変わるとき） • ２次関数の最大値・最小値（条件付など） • 2次関数のグラフと係数の符号 • 2次関数のセンター試験問題(2013～) • 2次関数の入試問題

=== ２次関数の最大値，最小値 ===
*** 目次 ***（クリックすれば該当項目にジャンプします）

（基本）条件式が１次方程式のもの

条件式が２次方程式のもの

条件式が比例形になっている場合

２変数関数の最大・最小

媒介変数（助変数）を含む２次関数の最大・最小

（基本）条件式が１次方程式のもの 【例題1.1】 x+y=2のとき，xyの最大値を求めてください． 条件式が１次方程式のときは，その方程式を使って１つの文字yを消去して，１つの変数xの関数に直して考えるのが基本です．（xを消去してもよい） （解答） この参考図において，縦はyではなく，求める関数xyをxの関数として表したものであることに注意 y=2−xを代入すると xy=x(2−x)=−x2+2x =−{x2−2x}=−{(x−1)2−1} =−(x−1)2+1 右図のような２次関数になり，x=1（このときy=1）のとき最大値1になる． 【例題1.2】 x+2y=3のとき，2x2+y2の最小値を求めてください． 条件式の方程式を使って１文字を消去しますが，yを消去すると初めから分数が登場します． この形ならxを消去する方が有利でしょう （解答） この参考図において，縦はyではなく，求める関数2x2+y2をyの関数として表したものであることに注意 x=3−2yを代入すると 2x2+y2=2(3−2y)2+y2 =2(4y2−12y+9)+y2 =9y2−24y+18 ゆえに のとき，最小値2をとる． →右上に続く

→左下から続く 【問題１】　選択肢の中から正しい答を選んでください．（クリックする） (1) x−y=4のとき，xyの最小値を求めてください． 解説 やり直す −6 −4 0 2 4 6 y=x−4を代入すると xy=x(x−4)=x2−4x =(x−2)2−4 x=2, y=−2のとき最小値−4をとる →閉じる← (2) x+y=1のとき，2x2−3y2の最大値を求めてください． 解説 やり直す −6 −4 0 2 4 6 y=1−xを代入すると 2x2−3y2=2x2−3(1−x)2 =2x2−3(x2−2x+1) =−x2+6x−3 =−(x2−6x)−3 =−{(x−3)2−9}−3 =−(x−3)2+9−3 =−(x−3)2+6 x=3, y=−2のとき最大値6をとる →閉じる←

条件式が２次方程式のもの 「x2+y2=1のとき，x+y最大値を求めよ」というような問題では，条件式x2+y2=1を１文字について解いて目的の式に代入消去するという方法は難しくなります． 全くできないということではないのですが，のような関数の最大値を求めるのは大変です． このような問題では， 求めたい式をx+y=kとおいて，定数kの値の範囲を調べる方法があります． x2+y2=1…(1)　（条件式は方程式） x+y=k…(2)　（目的の式も方程式になる） → (1)(2)の両方を満たす実数x, yが存在したら，そのようなkの値はとり得る値で，(1)(2)の両方を満たす実数x, yが存在しなかったら，そのようなkの値はとり得ないと考える． このような考え方の転換に慣れるまでは違和感があるかもしれないが，例えばx=1, y=0はx2+y2=1…(1)　を満たすが，そのときk=1+0=1の値は確かに取り得る値となっている． また，x=0, y=−1はx2+y2=1…(1)　を満たすが，そのときk=0−1=−1の値は確かに取り得る値となっている． このようにして(1)(2)を満たす実数x, yが存在したら，そのようなkの値はとり得る値となるのだから，(1)(2)を満たす実数x, yが存在するための条件を求めたらよい．（判別式を使うのでまだ習っていない場合は，飛ばしてもよいし，判別式を勉強してからやってもよい） 【例題2.1】 x2+y2=1のとき，x+yの最大値を求めてください． （解答） x+y=kとおく y=k−xをx2+y2=1に代入すると x2+(k−x)2=1 2x2−2kx+(k2−1)=0…(*) ２次方程式(*)が実数解をもつための条件は D'=k2−2(k2−1)≧0 −k2+2≧0 k2≦2 最大値は 【例題2.2】 xy=1 (x>0, y>0)のとき，x+yの最小値を求めてください． （解答） x+y=kとおく y=k−xをxy=1に代入すると x(k−x)=1 x2−kx+1=0…(*) ２次方程式(*)が実数解をもつための条件は D=k2−4≧0 k2≧4 k≧2またはk≦−2 x>0, y>0のとき，k=x+y>0だから k≧2 最小値は2 →右上に続く

→左下から続く 【問題２】　選択肢の中から正しい答を選んでください．（クリックする） (1) x2+y2=2のとき，y−xの最大値を求めてください． 解説 やり直す −2 −1 0 1 2 3 y−x=kとおく y=x+kを代入すると x2+(x+k)2=2 2x2+2kx+(k2−2)=0 判別式をD'とおくと D'=k2−2(k2−2)≧0 k2≦4 −2≦k≦2 k=2のときx=−1, y=1 x=−1, y=1のとき最大値2をとる →閉じる← (2) x2−xy+y2=1のとき，x+yの最大値を求めてください． 解説 やり直す −2 −1 0 1 2 3 x+y=kとおく y=k−xを代入すると x2−x(k−x)+(k−x)2=1 x2−kx+x2+k2−2kx+x2=1 3x2−3kx+(k2−1)=0 （参考）･･･このグラフが描けなくても最大値は求められます x2+y2=2のグラフの描き方は数学Ⅰでは習わない． 極方程式とか，回転を表す１次変換を習えば分かる． 判別式をDとおくと D=9k2−12(k2−1)≧0 −3k2+12≧0 k2≦4 −2≦k≦2 k=2のときx=1, y=1 x=1, y=1のとき最大値2をとる →閉じる←

条件式が比例形になっている場合 ○ のような式を比例形ということがあります． ○通俗的な言い方で言えば，このような（いもづる形）の条件式が与えられているときは， とおくと と書けるので，３つの変数で表される関数を１つの変数で表すことができます． 【例題3.1】 のとき，の最小値を求めてください． （解答） とおくと このとき となるから のとき最小値−2をとる． →右上に続く

→左下から続く 【問題３】　選択肢の中から正しい答を選んでください．（クリックする） (1) のとき，の最小値を求めてください． 解説 やり直す −2 −1 0 1 2 3 とおくと このとき となるから のとき最小値1をとる (2) のとき，の最小値を求めてください． 解説 やり直す −11 −7 −4 1 4 7 とおくと このとき となるから のとき最小値−7をとる

２変数関数の最大・最小 (1) のように２つの変数が独立に変化できるときの最大・最小を求めるには，各々の変数について平方完成の変形をして の形に直して のとき最小値３ などと変数を分けて考えるのが第１の基本です． (2) しかし，のようにの項を含む場合には の形にはなりません． 　このように，一般の場合に２つの変数を含む2次関数の最大・最小を求めるには (A)　まず初めにだけを変数として（について整理して）平方完成を行い (B)　次にそこで出てきた定数項をの関数として平方完成を行う という2段階の変形を行います． この第１段階で，各々のに対して，のとき最小値をとることが分かりますが，中でも最小値の値はの値によっては大きくもなり小さくもなります． だから のとき最小となります． 結局 （原式） と変形して， のとき最小値4をとることが分かります． 【例題4.1】 の最小値を求めてください． （解答） 変数を分けて１つずつ平方完成の変形を行います． のとき最小値１をとる． →右上に続く

→左下から続く 【例題4.2】 の最小値を求めてください． （解答） ｘについて整理します． のとき最小値３をとる． 【問題４】　選択肢の中から正しい答を選んでください．（クリックする） (1) の最小値を求めてください． 解説 やり直す 0 1 2 3 4 5 のとき最小値4をとる (2) の最小値を求めてください． 解説 やり直す 0 1 2 3 4 5 xについて整理する のとき最小値2をとる

媒介変数（助変数）を含む２次関数の最大・最小 媒介変数（助変数）を含む２次関数の最大・最小問題は，内容的には２変数関数の最大最小の問題と同じですが，出題のされ方や見かけが少し変わりますので，これにも慣れておく方がよいでしょう． 【例題5.1】 関数の最小値を求めてください． 次にの最大値を求めてください． （解答） はのとき最小値をとる． はのとき最大値をとる． 【例題5.2】 におけるの最大値と最小値を求めてください． （解答） の頂点の座標は ア） のとき 頂点は区間よりも左側にあり，関数のグラフは区間において単調増加． 最小値は 最大値は イ） のとき 頂点は区間の中にあり，頂点で最小となる．ただし，軸が左寄りか右寄りかで最大値は変わる． その1)　のとき 最小値は 最大値は その2)　のとき 最小値は 最大値は ウ） のとき 頂点は区間よりも右側にあり，関数のグラフは区間において単調減少． 最小値は 最大値は 【問題５】　選択肢の中から正しい答を選んでください．（クリックする） (1) においての最小値を求めてください． ア） のとき 1 −a2+1 5−4a 2−2a 2+2a 解説 やり直す のとき区間において増加関数になるからで最小値をとる 最小値は イ） のとき 1 −a2+1 5−4a 2−2a 2+2a 解説 やり直す のとき区間の中に頂点があるから，で最小値をとる 最小値は ウ） のとき 1 −a2+1 5−4a 2−2a 2+2a 解説 やり直す のとき区間において減少関数になるからで最小値をとる 最小値は →右上に続く

→左下から続く (2) においての最小値を求めてください． ア） のとき 2 3 4−2a 28−10a −a2+3 解説 やり直す のとき区間において増加関数になるからで最小値をとる 最小値は イ） のとき 2 3 4−2a 28−10a −a2+3 解説 やり直す のとき区間の中に頂点があるから，で最小値をとる 最小値は ウ） のとき 2 3 4−2a 28−10a −a2+3 解説 やり直す のとき区間において減少関数になるからで最小値をとる 最小値は 【問題６】　選択肢の中から正しい答を選んでください．（クリックする） (1) においての最大値を求めてください． ア） のとき 1 2 x x+1 x2+1 x2−2x+2 解説 やり直す のとき区間の左端が最大となるからで最大値をとる 最大値は イ） のとき 1 2 x x+1 x2+1 x2−2x+2 解説 やり直す のとき区間の右端で最大になるから，で最大値をとる 最大値は (2) においての最大値を求めてください． ア） のとき −1 −5 t t−2 t2−4t−1 解説 やり直す のとき区間の左端で最大なるからで最大値をとる 最大値は イ） のとき −1 −5 t t−2 t2−4t−1 解説 やり直す のとき区間の右端で最大になるから，で最大値をとる 最大値は