高校数学・2次関数

数I／２次関数のグラフと係数の符号

この教材は高校数学の基本問題中の2次関数のグラフと係数の符号という項目のバックアップ・コピーです．

【単元の目次】《数学Ⅰ》
• 数と式 • 根号計算 • 場合の数.順列.組合せ • ２次不等式 • ２次関数

【単元内の項目の目次】 • 2次関数のグラフ（例題対比） • 2次関数の頂点の座標 • 放物線の頂点の座標（標準形）
• 平行完成の変形1 • 平行完成の変形2 • 平行完成の変形3
• 2次関数の平行移動 • 放物線の移動 • 3点の座標→2次関数の形
• ２次関数の最大値・最小値（区間が指定されていないとき） • ２次関数の最大値・最小値（区間が固定されているとき1） • ２次関数の最大値・最小値（区間が固定されているとき2） • ２次関数の最大値・最小値（区間が変わるとき） • ２次関数の最大値・最小値（条件付など） • 2次関数のグラフと係数の符号
• 2次関数のセンター試験問題(2013～) • 2次関数の入試問題

== 2次関数のグラフと係数の符号 ==
　2次関数 $y=ax^2+ bx+ c$ のグラフが右図のように与えられているとき，係数 $a,\hspace{3}b,\hspace{3}c$ などの符号を，次のように求めることができます．

$a$ の符号

　 $a$ の値は「グラフの形」によって決まり，特に $a$ の符号は，グラフが下に凸（谷形）のとき $a\gt 0$ ，グラフが上に凸（山形）のとき $a\lt 0$ になります．

【例】

図1のグラフは，下に凸になっていますので， $a\gt 0$ です．

** 凸とは，どこを見るのか？ **

直線で切ったとき，直線よりも下に「ふくらんでいる」のが下に「凸」

点線で示した耳の形を見るのではない

直線で切ったとき，直線よりも上に「ふくらんでいる」のが上に「凸」

点線で示した両足の形を見るのではない

$c$ の符号

　 $y=ax^2+ bx+ c$ のグラフで， $x=0$ のとき $y=c$ になります．すなわち，ｙ軸との交点のｙ座標が $c$ になります．

図1のグラフでは， $c\lt 0$ です．（青●で示した点のｙ座標）

$b$ の符号

　 $b$ の符号は，グラフを見ただけでは判断できず，「 $a$ の符号」と「頂点の $x$ 座標」の両方から計算で求めなければなりません．

　右図の青で示した線は
$y=x^2-2x+ 2$
のグラフで，2次関数の係数は，
$a=1,$ $b=-2$ $,c=2$
です．
　赤で示した線は
$y=-x^2+ 2x$
のグラフで，2次関数の係数は，
$a=-1,$ $b=2$ $,c=0$
です．
$y=x^2-2x+ 2=(x-1)^2+ 1$
$y=-x^2+ 2x=-(x-1)^2+ 1$
だから，頂点のｘ座標はいずれも $x=1$ で同じですが， $b$ の符号が逆になっています．

　一般に，
$y=ax^2+ bx+ c=a(x^2+ \frac{b}{a}x)+ c$
$=a\{(x+ \frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a^2}\}+ c$
$=a(x+ \frac{b}{2a})^2+\{-\frac{b^2}{4a}+ c\}$
の頂点のx座標（対称軸のｘ座標）は
$x=-\frac{b}{2a}$
ですが，頂点のx座標（対称軸のｘ座標）の符号を見ただけでは $b$ の符号は分かりません．
　上記の青で示した例では
$x=-\frac{b}{2a}=1\gt 0$ かつ $a=1\gt 0$
から $b=-2\lt 0$ が求まります．
　上記の赤で示した例では
$x=-\frac{b}{2a}=1\gt 0$ かつ $a=-1\lt 0$
から $b=2\gt 0$ が求まります．

【 $b$ の符号の求め方】

①頂点のｘ座標 $x=-\frac{b}{2a}$ の符号
② $a$ の符号
の２つから決める

　初めの問題の図１では

①頂点のｘ座標 $x=-\frac{b}{2a}\gt 0$
② $a\gt 0$
だから， $b\lt 0$ になります．

≪ $b$ の符号の求め方，他の例≫

① $-\frac{b}{2a}\lt 0$
② $a\gt 0$
⇒ $b\gt 0$

① $-\frac{b}{2a}\gt 0$
② $a\gt 0$
⇒ $b\lt 0$

① $-\frac{b}{2a}=0$
② $a\gt 0$
⇒ $b=0$

① $-\frac{b}{2a}\lt 0$
② $a\lt 0$
⇒ $b\lt 0$

① $-\frac{b}{2a}\gt 0$
② $a\lt 0$
⇒ $b\gt 0$

① $-\frac{b}{2a}=0$
② $a\lt 0$
⇒ $b=0$

$b^2-4ac$ の符号

　 $D=b^2-4ac$ という式は「判別式」と呼ばれ，その符号が2次関数のグラフとｘ軸との共有点の個数に対応しています．この結果は，次のように覚えて使います．

(A)

(B)

ｘ軸との交点が２個あるから，判別式の符号は $D=b^2-4ac\gt 0$

(C)

(D)

ｘ軸との接点が１個あるから，判別式の符号は $D=b^2-4ac=0$

(E)

(F)

ｘ軸との共有点がないから，判別式の符号は $D=b^2-4ac\lt 0$

　授業や教科書での教材の順序によって，判別式という用語をまだ習っていない場合は，次のように「頂点のｙ座標」の符号で判断します．
　一般に
$y=ax^2+ bx+ c=a(x^2+ \frac{b}{a}x)+ c$
$=a\{(x+ \frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a^2}\}+ c$
$=a(x+ \frac{b}{2a})^2+\{-\frac{b^2}{4a}+ c\}$
$=a(x+ \frac{b}{2a})^2-\frac{b^2-4ac}{4a}$
の頂点のy座標は
$-\frac{b^2-4ac}{4a}$

(A)の図では

①下に凸だから $a\gt 0$
②頂点のｙ座標 $-\frac{b^2-4ac}{4a}\lt 0$
⇒ $b^2-4ac\gt 0$
(B)の図では

①上に凸だから $a\lt 0$
②頂点のｙ座標 $-\frac{b^2-4ac}{4a}\gt 0$
⇒ $b^2-4ac\gt 0$
(C)の図では

①下に凸だから $a\gt 0$
②頂点のｙ座標 $-\frac{b^2-4ac}{4a}=0$
⇒ $b^2-4ac=0$

(D)の図では

①上に凸だから $a\lt 0$
②頂点のｙ座標 $-\frac{b^2-4ac}{4a}=0$
⇒ $b^2-4ac=0$
(E)の図では

①下に凸だから $a\gt 0$
②頂点のｙ座標 $-\frac{b^2-4ac}{4a}\gt 0$
⇒ $b^2-4ac\lt 0$
(F)の図では

①上に凸だから $a\lt 0$
②頂点のｙ座標 $-\frac{b^2-4ac}{4a}\lt 0$
⇒ $b^2-4ac\lt 0$

$a+ b + c,\hspace{3}a-b+ c$ の符号

　関数 $y=f(x)=ax^2+ bx + c$ において， $x=1$ を代入すると，ｙの値は $a+ b + c$ になります．これにより，右図のように， $x=1$ のときのｙの符号が分かるときは， $a+ b + c$ の符号が分かることになります．

右の図なら， $a+ b + c\lt 0$

　同様にして， $x=-1$ を代入すると，ｙの値は $a-b + c$ になります．これにより，右図のように， $x=-1$ のときのｙの符号が分かるときは， $a-b + c$ の符号が分かることになります．

右の図なら， $a-b + c\lt 0$

　2次関数 $y=ax^2+ bx+ c$ のグラフが与えられているとき，係数 $a,\hspace{3}b,\hspace{3}c$ などの符号は次のようにまとめることができます．

【要点】
グラフの形が下に凸 ⇒ $a\gt 0$
グラフの形が上に凸 ⇒ $a\lt 0$

ｙ軸との交点がｘ軸よりも上 ⇒ $c\gt 0$
ｙ軸との交点がｘ軸よりも下 ⇒ $c\lt 0$

頂点（対称軸）のｘ座標と $a$ の符号から
⇒ $b$ の符号が求まる

ｘ軸との共有点の個数が２個 ⇒ $b^2-4bc\gt 0$
ｘ軸との共有点の個数が１個 ⇒ $b^2-4bc=0$
ｘ軸との共有点がない ⇒ $b^2-4bc\lt 0$

$x=1$ のときのｙ座標から
⇒ $a+ b+ c$ の符号が求まる
$x=-1$ のときのｙ座標から
⇒ $a-b+ c$ の符号が求まる
同様にして， $x=2$ のときのｙ座標が分かれば
⇒ $4a+ 2b+ c$ の符号が求まる

【問題】
　２次関数 $y=ax^2+ bx+ c$ のグラフが次の図のようになるとき， $a,\hspace{3}b,\hspace{3}c,\hspace{3}b^2-4ac,\hspace{3}a+ b+ c,\hspace{3}a-b+ c$ の符号を求めてください．
（正しいものをクリック．採点結果と解説が出ます）

(1)

$a\lt 0$ $a=0$ $a\gt 0$
解説やり直す

グラフが下に凸（谷形）だから， $a\gt 0$ …（答）

$c\lt 0$ $c=0$ $c\gt 0$
解説やり直す

ｙ軸との交点がｘ軸よりも上にあるから， $c\gt 0$ …（答）

$b\lt 0$ $b=0$ $b\gt 0$
解説やり直す

①頂点のｘ座標 $-\frac{b}{2a}\lt 0$
② $a\gt 0$
⇒ $b\gt 0$ …（答）

$b^2-4ac\lt 0$ $b^2-4ac=0$ $b^2-4ac\gt 0$
解説やり直す

判別式で判断する場合，ｘ軸との共有点の個数が０個だから $b^2-4ac\lt 0$ …（答）
頂点のｙ座標と $a$ の符号で判断する場合

①下に凸だから $a\gt 0$
②頂点のｙ座標 $-\frac{b^2-4ac}{4a}\gt 0$
⇒ $b^2-4ac\lt 0$ …（答）

$a+ b+ c\lt 0$ $a+ b+ c=0$ $a+ b+ c\gt 0$
解説やり直す

$x=1$ のとき $y=a+ b+ c\gt 0$ だから $a+ b+ c\gt 0$ …（答）
$1$ という目盛りがなくても分かる

$a-b+ c\lt 0$ $a-b+ c=0$ $a-b+ c\gt 0$
解説やり直す

$x=-1$ のとき $y=a-b+ c\gt 0$ だから $a-b+ c\gt 0$ …（答）
$-1$ という目盛りがなくても分かる

(2)

$a\lt 0$ $a=0$ $a\gt 0$
解説やり直す

グラフが上に凸（山形）だから， $a\lt 0$ …（答）

$c\lt 0$ $c=0$ $c\gt 0$
解説やり直す

ｙ軸との交点がｘ軸よりも上にあるから， $c\gt 0$ …（答）

$b\lt 0$ $b=0$ $b\gt 0$
解説やり直す

①頂点のｘ座標 $-\frac{b}{2a}\gt 0$
② $a\lt 0$
⇒ $b\gt 0$ …（答）

$b^2-4ac\lt 0$ $b^2-4ac=0$ $b^2-4ac\gt 0$
解説やり直す

判別式で判断する場合，ｘ軸との共有点の個数が2個だから $b^2-4ac\gt 0$ …（答）
頂点のｙ座標と $a$ の符号で判断する場合

①上に凸だから $a\lt 0$
②頂点のｙ座標 $-\frac{b^2-4ac}{4a}\gt 0$
⇒ $b^2-4ac\gt 0$ …（答）

$a+ b+ c\lt 0$ $a+ b+ c=0$ $a+ b+ c\gt 0$
解説やり直す

$x=1$ のとき $y=a+ b+ c\gt 0$ だから $a+ b+ c\gt 0$ …（答）

$a-b+ c\lt 0$ $a-b+ c=0$ $a-b+ c\gt 0$
解説やり直す

$x=-1$ のとき $y=a-b+ c\lt 0$ だから $a-b+ c\lt 0$ …（答）

(3)

$a\lt 0$ $a=0$ $a\gt 0$
解説やり直す

グラフが下に凸（谷形）だから， $a\gt 0$ …（答）

$c\lt 0$ $c=0$ $c\gt 0$
解説やり直す

ｙ軸との交点がｘ軸よりも下にあるから， $c\lt 0$ …（答）

$b\lt 0$ $b=0$ $b\gt 0$
解説やり直す

①頂点のｘ座標 $-\frac{b}{2a}\gt 0$
② $a\gt 0$
⇒ $b\lt 0$ …（答）

$b^2-4ac\lt 0$ $b^2-4ac=0$ $b^2-4ac\gt 0$
解説やり直す

判別式で判断する場合，ｘ軸との共有点の個数が2個だから $b^2-4ac\gt 0$ …（答）
頂点のｙ座標と $a$ の符号で判断する場合

①下に凸だから $a\gt 0$
②頂点のｙ座標 $-\frac{b^2-4ac}{4a}\lt 0$
⇒ $b^2-4ac\gt 0$ …（答）

$a+ b+ c\lt 0$ $a+ b+ c=0$ $a+ b+ c\gt 0$
解説やり直す

$x=1$ のとき $y=a+ b+ c\lt 0$ だから $a+ b+ c\lt 0$ …（答）

$a-b+ c\lt 0$ $a-b+ c=0$ $a-b+ c\gt 0$
解説やり直す

$x=-1$ のとき $y=a-b+ c\gt 0$ だから $a-b+ c\gt 0$ …（答）

(4)

$a\lt 0$ $a=0$ $a\gt 0$
解説やり直す

グラフが上に凸（山形）だから， $a\lt 0$ …（答）

$c\lt 0$ $c=0$ $c\gt 0$
解説やり直す

ｙ軸との交点がｘ軸よりも下にあるから， $c\lt 0$ …（答）

$b\lt 0$ $b=0$ $b\gt 0$
解説やり直す

①頂点のｘ座標 $-\frac{b}{2a}\lt 0$
② $a\lt 0$
⇒ $b\lt 0$ …（答）

$b^2-4ac\lt 0$ $b^2-4ac=0$ $b^2-4ac\gt 0$
解説やり直す

判別式で判断する場合，ｘ軸との共有点の個数が0個だから $b^2-4ac\lt 0$ …（答）
頂点のｙ座標と $a$ の符号で判断する場合

①上に凸だから $a\lt 0$
②頂点のｙ座標 $-\frac{b^2-4ac}{4a}\lt 0$
⇒ $b^2-4ac\lt 0$ …（答）

$a+ b+ c\lt 0$ $a+ b+ c=0$ $a+ b+ c\gt 0$
解説やり直す

$x=1$ のとき $y=a+ b+ c\lt 0$ だから $a+ b+ c\lt 0$ …（答）

$a-b+ c\lt 0$ $a-b+ c=0$ $a-b+ c\gt 0$
解説やり直す

$x=-1$ のとき $y=a-b+ c\lt 0$ だから $a-b+ c\lt 0$ …（答）

(5)

$a\lt 0$ $a=0$ $a\gt 0$
解説やり直す

グラフが上に凸（山形）だから， $a\lt 0$ …（答）

$c\lt 0$ $c=0$ $c\gt 0$
解説やり直す

ｙ軸との交点がｘ軸よりも下にあるから， $c\lt 0$ …（答）

$b\lt 0$ $b=0$ $b\gt 0$
解説やり直す

①頂点のｘ座標 $-\frac{b}{2a}\lt 0$
② $a\lt 0$
⇒ $b\lt 0$ …（答）

$b^2-4ac\lt 0$ $b^2-4ac=0$ $b^2-4ac\gt 0$
解説やり直す

判別式で判断する場合，ｘ軸との共有点の個数が1個だから $b^2-4ac=0$ …（答）
頂点のｙ座標と $a$ の符号で判断する場合

①上に凸だから $a\lt 0$
②頂点のｙ座標 $-\frac{b^2-4ac}{4a}=0$
⇒ $b^2-4ac=0$ …（答）

$a+ b+ c\lt 0$ $a+ b+ c=0$ $a+ b+ c\gt 0$
解説やり直す

$x=1$ のとき $y=a+ b+ c\lt 0$ だから $a+ b+ c\lt 0$ …（答）

$a-b+ c\lt 0$ $a-b+ c=0$ $a-b+ c\gt 0$
解説やり直す

$x=-1$ のとき $y=a-b+ c=0$ だから $a-b+ c=0$ …（答）

(6)

$a\lt 0$ $a=0$ $a\gt 0$
解説やり直す

グラフが下に凸（谷形）だから， $a\gt 0$ …（答）

$c\lt 0$ $c=0$ $c\gt 0$
解説やり直す

ｙ軸との交点がｘ軸よりも上にあるから， $c\gt 0$ …（答）

$b\lt 0$ $b=0$ $b\gt 0$
解説やり直す

①頂点のｘ座標 $-\frac{b}{2a}\gt 0$
② $a\gt 0$
⇒ $b\lt 0$ …（答）

$b^2-4ac\lt 0$ $b^2-4ac=0$ $b^2-4ac\gt 0$
解説やり直す

判別式で判断する場合，ｘ軸との共有点の個数が0個だから $b^2-4ac\lt 0$ …（答）
頂点のｙ座標と $a$ の符号で判断する場合

①下に凸だから $a\gt 0$
②頂点のｙ座標 $-\frac{b^2-4ac}{4a}\gt 0$
⇒ $b^2-4ac\lt 0$ …（答）

$a+ b+ c\lt 0$ $a+ b+ c=0$ $a+ b+ c\gt 0$
解説やり直す

$x=1$ のとき $y=a+ b+ c\gt 0$ だから $a+ b+ c\gt 0$ …（答）
$x=1$ の目盛りが書いてなくても分かる

$a-b+ c\lt 0$ $a-b+ c=0$ $a-b+ c\gt 0$
解説やり直す

$x=-1$ のとき $y=a-b+ c\gt 0$ だから $a-b+ c\gt 0$ …（答）
$x=-1$ の目盛りが書いてなくても分かる

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