高校数学・2次関数

平方完成(基本)

この教材は高校数学の基本問題中の平行完成の変形3という項目のバックアップ・コピーです．

【単元の目次】《数学Ⅰ》
• 数と式 • 根号計算 • 場合の数.順列.組合せ • ２次不等式 • ２次関数

【単元内の項目の目次】　　　　が現在地 • 2次関数のグラフ（初歩,入門） • 2次関数のグラフ（例題対比） • 2次関数の頂点の座標 • 放物線の頂点の座標（標準形） • 平行完成の変形1 • 平行完成の変形2 • 平行完成の変形3 • 2次関数の平行移動 • 放物線の移動 • 3点の座標→2次関数の形 • ２次関数の最大値・最小値（区間が指定されていないとき） • ２次関数の最大値・最小値（区間が固定されているとき1） • ２次関数の最大値・最小値（区間が固定されているとき2） • ２次関数の最大値・最小値（区間が変わるとき） • ２次関数の最大値・最小値（条件付など） • 2次関数のグラフと係数の符号 • 2次関数のセンター試験問題(2013～) • 2次関数の入試問題

♪♥ この教材は，高校数学の基本問題のうち，平方完成の変形3の「マイナーチェンジありカバー版」「パソコン用」ページです．
♫♣ 元の教材が通信トラブルなどで読めないときに，こちらを使ってください．なお，学習の記録は付いていません．

平方完成(3)

【平方完成の変形3】
x2の係数が1以外のとき，平方完成の変形を行うには，初めにその係数をくくり出してx2の係数が1になるようにします．
【例】　 $2x^2+ 4x=2(x^2+ 2x)$
この形にしてから，（　　）の中を今までやってきた方法で平方完成します．
$=2\{(x+ 1)^2-1\}$
最終的に答えの形にするときは「外側の｛　　｝をはずして」答えます．
$=2(x+ 1)^2-2$
※内側の（　　）をはずしてしまうと，元に戻ってしまうので注意．

【変形の注意点】

1)　かっこを「はずす」ときは，係数を「掛ける」ので，
その逆にかっこで「くくる」ときは，係数で「割ります」．

かっこをはずす→ $3(x^2+ 2x)=3x^2+ 6x$
かっこでくくる→ $3x^2+ 6x=3(x^2+ 2x)$

2)　マイナスの係数でくくるときは，１次の係数の符号も変わります．

間違い計算→ $-3x^2+ 6x=-3(x^2+ 2x)$

※この計算間違いはビックリするほど多いので気を付けましょう！

正しい計算→ $-3x^2+ 6x=-3(x^2-2x)$

3)　整数の係数でくくるとき，係数はその整数で「割ったもの」になります．
これに対して，分数の係数でくくるとき，係数はその分数で「割ったもの」になります．分数で割るには逆数を掛けます．

整数でくくる→ $3x^2+ 6x=3(x^2+ 2x)$
分数でくくる→ $\frac{1}{3}x^2+ 2x=\frac{1}{3}(x^2+ 6x)$
※「あやしい」「よくわからない」と思ったら，かっこをはずしたときに元に戻るかどうか目で確かめるようにします．

※マイナスの符号と分数の係数が混ざると，間違いが非常に多くなる傾向がありますので，幾つか例を示しておきます．
$\frac{1}{2}x^2+ x=\frac{1}{2}(x^2+ 2x)$
$\frac{1}{2}x^2-4x=\frac{1}{2}(x^2-8x)$
$-\frac{1}{2}x^2+ 6x=-\frac{1}{2}(x^2-12x)$
$-\frac{1}{2}x^2-5x=-\frac{1}{2}(x^2+ 10x)$

4)　定数項があるとき，定数項は平方完成の計算に参加せずに外に置いたままにします．

定数項があるときに，かっこの内側に入れてしまうと，最後に再び外側に出さなければなりません．
出したり入れたりすると，計算間違いの元ですから，外に置いたままにして，平方完成から出てくる定数項と差し引きして答えます．
まずい計算→ $2x^2+ 4x+ 1=2(x^2+ 2x+ \frac{1}{2})$
$=2\{(x+ 1)^2-1+\frac{1}{2}\}$
$=2\{(x+ 1)^2-\frac{1}{2}\}$
$=2(x+ 1)^2-1$
よい計算→ $2x^2+ 4x+ 1=2(x^2+ 2x)+ 1$
$=2\{(x+ 1)^2-1\}+ 1$
$=2(x+ 1)^2-2+ 1$
$=2(x+ 1)^2-1$

【問題１】　次の各式を平方完成してください．

A, B, Cを定数として，A(x+B)2+Cの形に直してください

（下の選択肢から正しいものを選んでクリック）
１つ選択すれば，解説が読めます．何も選ばなければ，解説は出ません．

(1) 3x2+24x+40

解説やり直す

3(x+4)2+24 3(x+8)2−24

3(x+4)2−8 3(x+12)2−104

3x2+24x+40=3(x2+8x)+40
=3{(x+4)2−16}+40
=3(x+4)2−48+40
=3(x+4)2−8…（答）

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(2) 2x2−8x+5

解説やり直す

2(x−2)2−3 2(x−2)2−1

2(x−4)2−28 2(x−2)2−11

2x2−8x+5=2(x2−4x)+5
=2{(x−2)2−4}+5
=2(x−2)2−8+5
=2(x−2)2−3…（答）

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(3) −x2+4x−3

解説やり直す

−(x+2)2−7 −(x−2)2−7

−(x+2)2+1 −(x−2)2+1

−x2+4x−3=−(x2−4x)−3
=−{(x−2)2−4}−3
=−(x−2)2+4−3
=−(x−2)2+1…（答）

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(4) −3x2−6x+2

解説やり直す

−3(x+1)2−1 −3(x+1)2+5

−3(x−1)2−1 −3(x−1)2+5

−3x2−6x+2=−3(x2+2x)+2
=−3{(x+1)2−1}+2
=−3(x+1)2+3+2
=−3(x+1)2+5…（答）

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【問題２】　次の各式を平方完成してください．（下の選択肢から正しいものを選んでクリック）

暗算では無理です．計算用紙を使ってよく考えてから答えてください．
まぐれで正解になっても実力は付きません．

(1) 4x2−6x+1

解説やり直す

$4(x-\frac{3}{2})^2-\frac{7}{2}$ $4(x-\frac{3}{2})^2-\frac{7}{4}$

$4(x-\frac{3}{4})^2-\frac{5}{4}$ $4(x-\frac{3}{4})^2+\frac{7}{16}$

$4x^2-6x+ 1=4(x^2-\frac{3}{2}x)+ 1$
$=4\{(x-\frac{3}{4})^2-\frac{9}{16}\}+ 1$
$=4(x-\frac{3}{4})^2-\frac{9}{4}+ 1$
$=4(x-\frac{3}{4})^2-\frac{5}{4}$ …（答）

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(2) −x2−3x+1

解説やり直す

$-(x-\frac{3}{2})^2-\frac{5}{4}$ $-(x-\frac{3}{2})^2+\frac{13}{4}$

$-(x+\frac{3}{2})^2-\frac{5}{4}$ $-(x+\frac{3}{2})^2+\frac{13}{4}$

$-x^2-3x+ 1=-(x^2+ 3x)+ 1$
$=-\{(x+\frac{3}{2})^2-\frac{9}{4}\}+ 1$
$=-(x+\frac{3}{2})^2+\frac{9}{4}+ 1$
$=-(x+\frac{3}{2})^2+\frac{13}{4}$ …（答）

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(3) 3x2+x+1

解説やり直す

$3(x+\frac{1}{6})^2+\frac{11}{12}$ $3(x+\frac{1}{6})^2+\frac{35}{36}$

$3(x+\frac{1}{3})^2+\frac{8}{9}$ $3(x+\frac{1}{3})^2+\frac{2}{3}$

$3x^2+ x+ 1=3(x^2+\frac{1}{3}x)+ 1$
$=3\{(x+\frac{1}{6})^2-\frac{1}{36}\}+ 1$
$=3(x+\frac{1}{6})^2-\frac{1}{12}+ 1$
$=3(x+\frac{1}{6})^2+\frac{11}{12}$ …（答）

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(4) −x2−x+3

解説やり直す

$-(x+\frac{1}{2})^2+\frac{11}{4}$ $-(x+\frac{1}{2})^2+\frac{13}{4}$

$-(x+ 1)^2+ 2$ $-(x+ 1)^2+ 4$

$-x^2-x+ 3=-(x^2+ x)+ 3$
$=-\{(x+\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}\}+ 3$
$=-(x+\frac{1}{2})^2+\frac{1}{4}+ 3$
$=-(x+\frac{1}{2})^2+\frac{13}{4}$ …（答）

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【問題３】　次の各式を平方完成してください．（下の選択肢から正しいものを選んでクリック）

暗算では無理です．計算用紙を使ってよく考えてから答えてください．
まぐれで正解になっても実力は付きません．

(1) $\frac{1}{2}x^2+ x-7$

解説やり直す

$\frac{1}{2}(x+ 1)^2-5$ $\frac{1}{2}(x+ 1)^2-\frac{15}{2}$

$\frac{1}{2}(x+\frac{1}{4})^2+\frac{15}{16}$ $\frac{1}{2}(x+\frac{1}{4})^2+\frac{13}{4}$

$\frac{1}{2}x^2+ x-7=\frac{1}{2}(x^2+ 2x)-7$
$=\frac{1}{2}\{(x+ 1)^2-1\}-7$
$=\frac{1}{2}(x+ 1)^2-\frac{1}{2}-7$
$=\frac{1}{2}(x+ 1)^2-\frac{15}{2}$ …（答）

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(2) $-\frac{1}{2}x^2-\frac{5}{4}x-3$

解説やり直す

$-\frac{1}{2}(x+\frac{5}{2})^2+\frac{13}{4}$ $-\frac{1}{2}(x+\frac{5}{2})^2-\frac{37}{4}$

$-\frac{1}{2}(x+\frac{5}{4})^2+\frac{1}{8}$ $-\frac{1}{2}(x+\frac{5}{4})^2-\frac{71}{32}$

$-\frac{1}{2}x^2-\frac{5}{4}x-3=-\frac{1}{2}(x^2+\frac{5}{2}x)-3$
$=-\frac{1}{2}\{(x+\frac{5}{4})^2-\frac{25}{16}\}-3$
$=-\frac{1}{2}(x+\frac{5}{4})^2+\frac{25}{32}-3$
$=-\frac{1}{2}(x+\frac{5}{4})^2-\frac{71}{32}$ …（答）

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(3) $-\frac{1}{3}x^2-x+ 2$

解説やり直す

$-\frac{1}{3}(x-\frac{1}{2})^2+\frac{5}{4}$ $-\frac{1}{3}(x-\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}$

$-\frac{1}{3}(x+\frac{3}{2})^2+\frac{5}{4}$ $-\frac{1}{3}(x+\frac{3}{2})^2+\frac{11}{4}$

$-\frac{1}{3}x^2-x+ 2=-\frac{1}{3}(x^2+ 3x)+ 2$
$=-\frac{1}{3}\{(x+\frac{3}{2})^2-\frac{9}{4}\}+ 2$
$=-\frac{1}{3}(x+\frac{3}{2})^2+\frac{3}{4}+ 2$
$=-\frac{1}{3}(x+\frac{3}{2})^2+\frac{11}{4}$ …（答）

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(4) $-\frac{3}{2}x^2+ x-\frac{1}{3}$

解説やり直す

$-\frac{3}{2}(x-\frac{1}{3})^2-\frac{1}{2}$ $-\frac{3}{2}(x-\frac{1}{3})^2-\frac{4}{9}$

$-\frac{3}{2}(x-\frac{1}{3})^2-\frac{1}{6}$ $-\frac{3}{2}(x+\frac{1}{3})^2-\frac{1}{6}$

$-\frac{3}{2}x^2+ x-\frac{1}{3}=-\frac{3}{2}(x^2-\frac{2}{3}x)-\frac{1}{3}$
$=-\frac{3}{2}\{(x-\frac{1}{3})^2-\frac{1}{9}\}-\frac{1}{3}$
$=-\frac{3}{2}(x-\frac{1}{3})^2+\frac{1}{6}-\frac{1}{3}$
$=-\frac{3}{2}(x-\frac{1}{3})^2-\frac{1}{6}$ …（答）

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