高校数学・2次関数

この教材は高校数学の基本問題中のセンター試験.2次方程式.2次関数(2013～)という項目のバックアップ・コピーです． 【単元の目次】 《数学Ⅰ》 • 数と式 • 根号計算 • 場合の数.順列.組合せ • ２次不等式 • ２次関数 【単元内の項目の目次】 • 2次関数のグラフ（例題対比） • 2次関数の頂点の座標 • 放物線の頂点の座標（標準形） • 平行完成の変形1 • 平行完成の変形2 • 平行完成の変形3 • 2次関数の平行移動 • 放物線の移動 • 3点の座標→2次関数の形 • ２次関数の最大値・最小値（区間が指定されていないとき） • ２次関数の最大値・最小値（区間が固定されているとき1） • ２次関数の最大値・最小値（区間が固定されているとき2） • ２次関数の最大値・最小値（区間が変わるとき） • ２次関数の最大値・最小値（条件付など） • 2次関数のグラフと係数の符号 • 2次関数のセンター試験問題(2013～) • 2次関数の入試問題

== センター試験.2次方程式.2次関数(2013～) == 【2013年度センター試験.数学Ⅰ･数学A】第2問 　座標平面上にある点Pは，点A(−8, 8)から出発して，直線y=−x上をx座標が1秒あたり2増加するように一定の速さで動く。また，同じ座標平面上にある点Qは，点PがAを出発すると同時に原点Oから出発して，直線y=10x上をx座標が1秒あたり1増加するように一定の速さで動く。出発してからt秒後の2点P, Qを考える。点PがOに達するのはt=アのときである。以下，0<t<アで考える。 (1)　点Pとx座標が等しいx軸上の点をP', 点Qとx座標が等しいx軸上の点をQ'とおく。△OPP'と△OQQ' の面積の和Sをtで表せば S=イt2−ウエt+オカ となる。これより0<t<アにおいては，t= キ ク で，Sは最小値 ケコサ シ をとる。

［解答を見る］ 　点Pのx座標は，x=−8から出発して，x座標が1秒あたり2増加するように一定の速さで動くから x=−8+2t 原点に到達するのは −8+2t=0 t=4→ア (1) △OPP'=OP'×PP'/2=(8−2t)2/2=2t2−16t+32 △OQQ'=OQ'×QQ'/2=t×10t/2=5t2 S=7t2−16t+32→イ，ウエ，オカ ∀～勝手に批評～∃，∅～筆者の感想～♪♪ 　ここまでは，高校入試レベルの問題です．ほぼ全員が正解になり，この問題で差は付きません．早合点，計算ミスを防いで確実に取れるようにしましょう． のとき，最小値をとる→キク，ケコサシ ∀～勝手に批評～∃，∅～筆者の感想～♪♪ 　教科書レベルの問題です．ほぼ全員が正解になり，この問題で差は付きません．早合点，計算ミスを防いで確実に取れるようにしましょう． →解答を隠す←

次に，aを0<a<ア−1を満たす定数とする。以下，a≦t≦a+1におけるSの最小・最大について考える。 (i)　Sがt= キ ク で最小となるようなaの値の範囲は ス セ ≦a≦ ソ タ である。 (ii)　Sがt=aで最大となるようなaの値の範囲は 0<a≦ チ ツテ である。

［解答を見る］ 0<a<3のとき，(0<)a≦t≦a+1(<4)において (i) が，のとき，最小値となるのは かつのとき すなわち のとき→スセソタ (ii) t=aで最大となるのは，右図において，軸が区間a≦t≦a+1の右半分（境界を含む）にあるとき →チツテ ∀～勝手に批評～∃，∅～筆者の感想～♪♪ 　定義域の区間が変数になっている問題は，教科書傍用問題集などで幾つか練習しておき，確実に得点できるようにしましょう． →解答を隠す←

(2)　3点O, P,Qを通る2次関数のグラフが関数y=2x2 のグラフを平行移動したものになるのは，t= ト ナ のときであり，x軸方向に ニヌ ネ ，y軸方向に ノハヒ フ だけ平行移動すればよい。

［解答を見る］ (2) y=2x2のグラフを平行移動したものは y=2x2+Ax+B･･･(#1)とおける（A, Bは定数） 3点O(0, 0), P(−8+2t, 8−2t),Q(t, 10t)が(#1)上にあるには，次の3つの条件を満たさなければならない 0=B･･･(#2) 8−2t=2(−8+2t)2+A(−8+2t)+B･･･(#3) 10t=2t2+At+B･･･(#4) (#2)を(#3)(#4)に代入する 8−2t=2(−8+2t)2+A(−8+2t)･･･(#5) 10t=2t2+At･･･(#6) (#6)からt=0（t>0だから，この可能性はない）またはA=10−2t･･･(#7) (#7)を(#5)に代入する 8−2t=2(−8+2t)2+(10−2t)(−8+2t) 4−t=(−8+2t)2+(10−2t)(−4+t) 4−t=4t2−32t+64−40+18t−2t2 2t2−13t+20=0 (2t−5)(t−4)=0 (0<)a≦t≦a+1(<4)だから→トナ は，y=2x2のグラフを，x軸方向に，y軸方向にだけ平行移動したものになる→ニヌ，ネ，ノハヒ，フ ♪～勝手に批評～♪，♣～筆者の感想～♥ 　尋ね方が良く出会う問題の形をしていないが，2点を通るように2次関数の係数を定める問題だと分かれば，後は計算するだけ．展開形で求めてもよいし，頂点に対応した標準形で求めてもよい． →解答を隠す←

【2014年度センター試験.数学Ⅰ･数学A】第2問 　aを定数とし，xの2次関数 y=x2+2ax+3a2−6a−36･･･① のグラフをGとする。Gの頂点の座標は (アa, イa2−ウa−エオ) である。Gとy軸との交点の座標をpとする。 (1)　p=−27のとき，aの値はa=カ，キクである。a=カのときの①のグラフをx軸方向にケ，y軸方向にコだけ平行移動すると，a=キクのときの①のグラフに一致する。

［解答を見る］ ∀～勝手に批評～∃，∅～筆者の感想～♪♪ 　教科書レベルの基本問題です．ほとんどの受験生が正解になるので，この問題で差は出ない．確実に得点しておきたい． y=x2+2ax+3a2−6a−36 =(x+a)2−a2+3a2−6a−36 =(x+a)2+2a2−6a−36 頂点の座標は(−a, 2a2−6a−36)→ア，イ，ウ，エオ (1)　Gとy軸との交点の座標がpだから，①にx=0を代入すると 3a2−6a−36=−27 3a2−6a−9=0 a2−2a−3=0 (a+1)(a−3)=0 a=3, −1→カ，キク a=3のときの①のグラフの頂点の座標は (−3, −36) a=−1のときの①のグラフの頂点の座標は (1, −28) したがって，x軸方向に4，y軸方向に8だけ平行移動→ケ，コ →解答を隠す←

(2)　下のス，セ，ノ，ハには，次の⓪～③のうちから当てはまるものを一つずつ選べ。ただし，同じものを繰り返し選んでもよい。 ⓪ >　　① <　　② ≧　　③ ≦ 　Gがx軸と共有点を持つようなaの値の範囲を表す不等式は サシ スaセ ソ･･･② である。aが②の範囲にあるとき，pは，a=タで最小値チツテをとり，a=トで最大値ナニをとる。 　Gがx軸と共有点を持ち，さらにそのすべての共有点のx座標が−1より大きくなるようなaの値の範囲を表す不等式は ヌネ ノaハ ヒフ ヘ である。

［解答を見る］ (2) 頂点のy座標は，イウエオの結果から 2a2−6a−36 下に凸の放物線がx軸と共有点を持つには，頂点のy座標が0以下になればよいから 　大学入試の受験生は，数学Ⅱも習っているのが普通で，その場合は，①式=0とした2次方程式の判別式を用いて考えることが多い 　D'=a2−(3a2−6a−36)≧0 2a2−6a−36≦0 a2−3a−18≦0 (a+3)(a−6)≦0 −3≦a≦6 →サシ，ス，セ，ソ p=3a2−6a−36 =3(a2−2a)−36 =3(a−1)2−39（−3≦a≦6） a=1のとき最小値−39をとる→タ，チツテ a=6のとき最大値36をとる→ト，ナニ f(x)=x2+2ax+3a2−6a−36 のグラフが 「x軸と共有点を持ち」(#1) 「そのすべての共有点のx座標が−1より大きくなる」(#2)には (#1)より，サシスセソの結果を用いる（③の形はだめ）と −3≦a≦6･･･(#3) (#2)より，f(−1)>0（②の形はだめ） f(−1)=1−2a+3a2−6a−36>0 3a2−8a−35>0 (3a+7)(a−5)>0 ･･･(#4) かつ軸のx座標＞−1（④の形はだめ） −1<−a a<1･･･(#5) (#3)(#4)(#5)より →ヌネ，ノ，ハ，ヒフ，ヘ ∀～勝手に批評～∃，∅～筆者の感想～♪♪ 　解の配置問題（定数と解の大小比較問題）は，教科書傍用問題集などで一度は練習しておくべきものです． →解答を隠す←

【2015年度センター試験.数学Ⅰ･数学A】第1問 　2次関数 y=−x2+2x+2･･･① のグラフの頂点の座標は(ア，イ)である。また y=f(x) はxの2次関数で，そのグラフは，①のグラフをx軸方向にp，y軸方向にqだけ平行移動したものであるとする。 (1)　下のウ，オには，次の⓪～④のうちから当てはまるものを一つずつ選べ。ただし，同じものを繰り返し選んでもよい。 ⓪ >　　① <　　② ≧　　③ ≦　　④ ≠ 　2≦x≦4におけるf(x)の最大値がf(2)になるようなpの値の範囲は pウ エ であり，最小値がf(2)になるようなpの値の範囲は pオ カ である。

［解答を見る］ y=−(x2−2x)+2=−{(x−1)2−1}+2 =−(x−1)2+3 頂点の座標は(1, 3)→ア，イ (1) y=−{x−(p+1)}2+(q+3) (2≦x≦4) の最大値がf(2)となるのは，右図のように，放物線の軸x=p+1が，x=2よりも左にあるとき（等しくてもよい） p+1≦2 p≦1→ウ，エ 最小値がf(2)となるのは，右図のように，放物線の軸x=p+1が，区間2≦x≦4の中央x=3よりも右にあるとき（等しくてもよい） p+1≧3 p≧2→オ，カ →解答を隠す←

(2)　2次不等式f(x)>0の解が−2<x<3になるのは p= キク ケ ，q= コサ シ のときである。

［解答を見る］ (2) 【2次不等式の解から2次不等式を作るには】 a<x<b ⇔ x2−(a+b)x+ab<0 2次不等式の解が−2<x<3になるのは x2−x−6<0･･･(#1) 次の2次不等式が(#1)に一致するには −{x−(p+1)}2+(q+3) =−x2+2(p+1)x−(p2+2p+1−q−3) =−{x2−2(p+1)x+(p2+2p+1−q−3)}>0 x2−2(p+1)x+(p2+2p+1−q−3)<0 2(p+1)=1 p2+2p+1−q−3=−6 これを解くと →キク，ケ，コサ，シ →解答を隠す←

【2016年度センター試験.数学Ⅰ･数学A】第1問(必答問題) 〔1〕 aを実数とする。xの関数 f(x)=(1+2a)(1−x)+(2−a)x を考える。 f(x)=(−アa+イ)x+2a+1 である。 (1)　0≦x≦1におけるf(x)の最小値は， a≦ イ ア のとき，ウa+エであり a> イ ア のとき，オa+カである。

［解答を見る］ f(x)=(1+2a)(1−x)+(2−a)x =(1+2a)−(1+2a)x+(2−a)x =(−3a+1)x+(2a+1)→ア，イ (1) xの係数−3a+1の正負に応じて増加関数，減少関数に分かれる ア） −3a+1≧0のとき，増加（非減少）関数になるから，x=0のとき最小値をとる のとき，最小値2a+1→ウエ イ） −3a+1<0のとき，減少関数になるから，x=1のとき最小値をとる のとき，最小値−a+2→オカ →解答を隠す←

(2)　0≦x≦1において，常にとなるaの値の範囲は， キ ク ≦a≦ ケ コ である。

［解答を見る］ (2) 　(1)の結果に沿って，最小値と比較すればよい ア） のとき 以上から イ） のとき 以上から ア）イ）をまとめると→キクケコ →解答を隠す←

【2017年度センター試験.数学Ⅰ･数学A】第1問(必答問題) 〔3〕 aを定数とし，g(x)=x2−2(3a2+5a)x+18a4 +30a3+49a2+16とおく。2次関数y=g(x)のグラフの頂点は (セa2+ソa, タa4+チツa2+テト) である。 　aが実数全体を動くとき，頂点のx座標の最小値は − ナニ ヌネ である。 　次に，t=a2とおくと，頂点のy座標は タt2+チツt+テト と表せる。したがって，aが実数全体を動くとき，頂点のy座標の最小値はノハである。

［解答を見る］ g(x)=x2−2(3a2+5a)x+18a4+30a3+49a2+16 ={x−(3a2+5a)}2−(3a2+5a)2+18a4+30a3+49a2+16 ={x−(3a2+5a)}2−9a4−30a3−25a2 +18a4+30a3+49a2+16 ={x−(3a2+5a)}2+9a4+24a2+16 頂点の座標は(3a2+5a, 9a4+24a2+16)→セ,ソ,タ,チツ,テト 頂点のx座標は 頂点のx座標はの最小値は，→ナニ,ヌネ t=a2 (≧0)とおくと，頂点のx座標は t≧0のとき，単調増加関数になり，t=0のとき最小値16をとる→ノハ →解答を隠す←

【2018年度センター試験.数学Ⅰ･数学A】第1問(必答問題) 〔1〕 xを実数とし A=x(x+1)(x+2)(5−x)(6−x)(7−x) とおく。整数nに対して (x+n)(n+5−x)=x(5−x)+n2+アn であり，したがって，X=x(5−x)とおくと A=X(X+イ)(X+ウエ) と表せる。 のとき，X=オであり，A=2カである。

［解答を見る］ (x+n)(n+5−x)=nx+x(5−x)+n2+(5−x)n =x(5−x)+n2+5n→ア X=x(5−x)とおくと (x+1)(6−x)=x(5−x)+6 (x+2)(7−x)=x(5−x)+14 A=X(X+6)(X+14)→イ，ウエ のとき →オ A=2(2+6)(2+14)=21×23×24=28→カ →解答を隠す←

【2019年度センター試験.数学Ⅰ･数学A】第1問(必答問題) 〔3〕 aとbはともに正にの実数とする。xの2次関数 y=x2+(2a−b)x+a2+1 のグラフをGとする。 (1)　グラフGの頂点の座標は b チ −a，− b2 ツ +ab+テ である。

［解答を見る］ (1) 頂点の座標は →チ，ツ，テ →解答を隠す←

(2)　グラフGが点(−1, 6)を通るとき，bのとり得る値の最大値はトであり，そのときのaの値はナである。 　b=ト，a=ナのとき，グラフGは2次関数 y=x2のグラフをx軸方向に ニ ヌ ，y軸方向に ネノ ハ だけ平行移動したものである。

［解答を見る］ (2) y=x2+(2a−b)x+a2+1にx=−1, y=6を代入する 6=1−(2a−b)+a2+1 b=−a2+2a+4=−(a−1)2+5 bのとり得る値の最大値は5であり，そのときのaの値は1 →ト，ナ このとき，頂点の座標は y=x2のグラフをx軸方向に，y軸方向にだけ平行移動したものである→ニ,ヌ,ネノ,ハ →解答を隠す←

【2020年度センター試験.数学Ⅰ･数学A】第1問(必答問題) 〔3〕 cを定数とする。2次関数y=x2のグラフを，2点(c, 0), (c+4, 0)を通るように平行移動して得られるグラフをGとする。 (1)　Gをグラフにもつ2次関数は，cを用いて y=x2−2(c+ツ)x+c(c+テ) と表せる。 　2点(3, 0), (3, −3)を両端とする線分とGが共有点をもつようなcの値の範囲は −ト≦c≦ナ，ニ≦c≦ヌ である。

［解答を見る］ (1) 　2次関数Gの方程式をy=x2+Ax+Bとおく（A, Bは定数） (c, 0)を通るから 0=c2+Ac+B･･･(#1) (c+4, 0)を通るから 0=(c+4)2+A(c+4)+B･･･(#2) 　cを与えられた定数とし，A, Bを未知数として，連立方程式(#1)(#2)を解く 　(#2)−(#1) 0=8c+16+4A A=−2c−4･･･(#3) 　(#3)を(#1)に代入 B=−c2+(2c+4)c=c2+4c･･･(#4) 　(#3)(#4)により，2次関数Gの方程式は y=x2−(2c+4)x+c2+4c =x2−2(c+2)x+c(c+4)→ツ，テ (#5) (#5)が2点(3, 0), (3, −3)を両端とする線分と共有点をもつから −3≦9−6(c+2)+c(c+4)≦0 −3≦c2−2c−3≦0 c2−2c≧0かつc2−2c−3≦0 c(c−2)≧0かつ(c−3)(c+1)≦0 (c≦0または2≦c)かつ(−1≦c≦3) −1≦c≦0または2≦c≦3→ト,ナ,ニ,ヌ →解答を隠す←

(2)　ニ≦c≦ヌの場合を考える。Gが点(3, −1)を通るとき，Gは2次関数y=x2のグラフをx軸方向にネ+ノ　，y軸方向にハヒだけ平行移動したものである。また，このときGとy軸との交点のy座標はフ+ヘホ　である。

［解答を見る］ (2) 2≦c≦3の場合，Gが点(3, −1)を通るとき −1=c2−2c−3 c2−2c−2=0 2≦c≦3だから， このとき，2次関数の方程式Gは，(#5)より y={x−(c+2)}2−4 は，y=x2のグラフをx軸方向に，y軸方向に−4だけ平行移動したものである→ネ,ノ,ハヒ 　また，このとき，x=0ならば →フ,ヘ,ホ →解答を隠す←

【2021年度共通テスト.数学Ⅰ･数学A】第1問(必答問題) 〔1〕 cを正の定数とする。xの2次方程式 2x2+(4c−3)x+2c2−c−11=0･･･① について考える。 (1)　c=1のとき，①の左辺を因数分解すると (アx+イ)(x−ウ) であるから，①の解は x=− イ ア ，ウ である。 (2)　c=2のとき，①の解は x= −エ±オカ　 キ であり，大きいほうの解をαとすると ク±ケコ　 サ である。また，を満たす整数mはシである。

［解答を見る］ (1) c=1を代入する 2x2+x−10 =(2x+5)(x−2)→ア,イ,ウ (2) c=2を代入する 2x2+5x−5=0 解の公式により →エ,オカ,キ 　大きいほうの解をαとおくと →ク,ケコ,サ を満たす整数mは ≒6.53..だからm=6→シ →解答を隠す←

(3)　太郎さんと花子さんは，①の解について考察している。 太郎：①の解はcの値によって，ともに有理数である場合もあれば，ともに無理数である場合もあるね。cがどのような値のときに，解は有理数になるのかな。 花子：①の解は2次方程式の根号の中に着目すればいいんじゃないかな。 　①の解が異なる二つの有理数であるような正の整数cの個数はス個である。

［解答を見る］ (3) ①の解は 根号内は であって，かつ，Dが平方数となる正の整数cを求める c=1→D=81（適する） c=2→D=65（不適） c=3→D=49（適する） c=4→D=34（不適） c=5→D=17（不適） c=6→D=1（適する） 以上から，3個→ス →解答を隠す←

【2022年度共通テスト.数学Ⅰ･数学A】第2問(必答問題) 〔1〕 p, qを実数とする。 花子さんと太郎さんは，次の二つの2次方程式について考えている。 x2+px+q=0　･･･① x2+qx+p=0　･･･② 　①または②を満たす実数xの個数をnとおく。 (1)　p=4, q=−4のとき，n=アである。 　また，p=1, q=−2のとき，n=イである。 (2)　p=−6のとき，n=3になる場合を考える。 花子：例えば，①と②をともに満たす実数xがあるときはn=3になりそうだね。 太郎：それをαとしたら，α2+qα−6=0とα2−6α+q=0が成り立つよ。 花子：なるほどね。それならば，α2を消去すれば，αの値が求められそうだね。 太郎：確かにαの値が求まるけど，実際にn=3となっているかどうかの確認が必要だね。 花子：これ以外にもn=3となる場合がありそうだね。 　n=3となるqの値は q=ウ，エ である。ただし，ウ<エとする。

［解答を見る］ (1) p=4, q=−4のとき x2+4x−4=0　･･･① x2−4x+4=0　･･･② ①の実数解は ②の実数解はx=2 だから，n=3→ア p=1, q=−2のとき x2+x−2=0　･･･① x2−2x+1=0　･･･② ①の実数解はx=−2, 1 ②の実数解はx=1 だから，n=2→イ p=−6のとき 花子と太郎の会話をヒントに，①②の共通解αがあるときを考えると α2−6α+q=0　･･･①' α2+qα−6=0　･･･②' ②'−①' (q+6)(α−1)=0 q=−6のとき，①'②'は同じ方程式になって，実数解2個となるから，題意に適さない． α=1のとき，q=5となって， ①'の解はα=1, 5 ②'の解はα=1, −6 実数解3個となって題意に適する． 　共通解がなくて，解が3個となるのは，一方が実の重解をもち，他方が異なる実数解をもつ場合 ②'は異なる実数解をもつから，①'について判別式D=0とすると q=9 以上から，q=5, 9→ウ,エ →解答を隠す←

(3)　花子さんと太郎さんは，グラフ表示ソフトを用いて，①②の左辺をyとおいた2次関数y=x2+px+qとy=x2+qx+pのグラフの動きを考えている。 （挿し絵省略） 　p=−6に固定したまま，qの値だけを変化させる。 y=x2−6x+q　･･･③ y=x2+qx−6　･･･④ の二つのグラフについて，q=1のときのグラフを点線で，qの値を1から増加させたときのグラフを実線でそれぞれ表す。このとき，③のグラフの移動の様子を示すとオとなり，④のグラフの移動の様子を示すとカとなる。 オ，カについては，最も適当なものを，次の⓪～⑦のうちから一つずつ選べ。ただし，同じものを繰り返し選んでもよい。なお，x軸とy軸は省略しているが，x軸は右方向，y軸は上方向がそれぞれ正の方向である。

［解答を見る］ qの値を1から増加させたとき，③の頂点は，x座標は変わらず，y座標は増加するから ⑥→オ ④の方程式は その頂点は qの値を1から増加させたとき，x座標は減少，y座標も減少するから，①→カ →解答を隠す←

(4)　ウ<q<エとする。全体集合Uを実数全体の集合とし，Uの部分集合A, Bを A={x|x2−6x+q<0} B={x|x2+qx−6<0} とする。Uの部分集合Xに対し，Xの補集合をXと表す。このとき，次のことが成り立つ。 x∈Aは，x∈Bであるためのキ。 x∈Bは，x∈Aであるためのク。 キ, クの解答群（同じものを繰り返し選んでもよい。） ⓪　必要条件であるが，十分条件ではない ①　十分条件であるが，必要条件ではない ②　必要十分条件である ③　必要条件でも十分条件でもない

［解答を見る］ 5<q<9のとき f(x)=x2−6x+q g(x)=x2+qx−6 とおくと f(1)=q−5>0 g(1)=q−5>0x軸の上にある 　また g(x)−f(x)=(q+6)(x−1) だからx>1のときg(x)>f(x) f(x)の軸はx=3 (>1) g(x)の軸は 　さらに，x軸との共有点の個数を判別式で調べると Df=9−q>0 Dg=q2+9>0x軸と2点で交わる 以上から，右図のようなグラフになる． だから ③必要条件でも十分条件でもない→キ だから ①十分条件であるが，必要条件ではない→ク ∀～勝手に批評～∃，∅～筆者の感想～♪♪ 　前の問題とどのように関連しているのかなど，あれこれと考えていると，結構時間を取られてしまう． 　内容的に難解・高度な問題ということではないが，時間内に正答に達するのは厳しいかもしれない． →解答を隠す←