高校数学・2次関数

この教材は高校数学の基本問題中の２次関数の最大値・最小値（区間が変わるとき）という項目のバックアップ・コピーです． 【単元の目次】 《数学Ⅰ》 • 数と式 • 根号計算 • 場合の数.順列.組合せ • ２次不等式 • ２次関数 【単元内の項目の目次】 • 2次関数のグラフ（例題対比） • 2次関数の頂点の座標 • 放物線の頂点の座標（標準形） • 平行完成の変形1 • 平行完成の変形2 • 平行完成の変形3 • 2次関数の平行移動 • 放物線の移動 • 3点の座標→2次関数の形 • ２次関数の最大値・最小値（区間が指定されていないとき） • ２次関数の最大値・最小値（区間が固定されているとき1） • ２次関数の最大値・最小値（区間が固定されているとき2） • ２次関数の最大値・最小値（区間が変わるとき） • ２次関数の最大値・最小値（条件付など） • 2次関数のグラフと係数の符号 • 2次関数のセンター試験問題(2013～) • 2次関数の入試問題

= ■２次関数の最大値・最小値 =(区間が変わるとき) 【例題１】 　右図１は，２次関数y=f(x)=(x−1)2のグラフのうちで0≦x≦tの区間を赤色で示し，他の区間を灰色で示したものです． t>0のとき，この関数の区間0≦x≦tにおける最小値と最大値を求めてください． （tの値は，初め0.50になっていますが，赤で示したスケールをクリックすると変更できます．） ≪こういう形の問題を初めて学ぶ人へ≫ 　「tが変わるからtは変数で，xも変数なのでどう考えてよいか分からない」と当惑している場合，次のように考えてください． 　初めにtを決めます．そのtの値に応じて変数xを考えます． だから，tは定数，xは変数と考えます （解説） ○最小値 　tの値を少しずつ大きくしていくと，t=1になるまで，区間の右端（青線で示したところ）x=tのところで最小値になることが分かります． 0<t≦1のとき最小値はf(t)=(t−1)2 　しかし，tの値を1よりも大きくしても，区間0≦x≦tの中では，x=1のときの最小値f(1)=0よりも小さな値は登場しないので，最小値は変わらず0になります． t>1のとき最小値はf(1)=0 ○最大値 ア）　tの値を少しずつ大きくした場合，t=2になるまでは，区間の左端（緑線で示したところ）x=0のところで最大値になっています． 0<t≦2のとき最大値はf(0)=1 *）　t=2のときは，区間の左端（緑線で示したところ）x=0と区間の右端（青線で示したところ）x=2のところのyの値が等しく，最大値はf(0)=f(2)=1になっています． この場合分けは，ア）の場合分けのxの値を等号付き不等号にすることにより，ア）の分類に含めることができます． イ）　t>2のときは，区間の左端（緑線で示したところ）x=0よりも区間の右端（青線で示したところ）x=tのところの方がyの値が大きくなります． t>2のとき最大値はf(t)=(t−1)2	*** 区間の左端が固定されていて，右端が動く場合 *** ≪図１≫ tの現在値:0.50
問１t>0のとき，２次関数y=−x2+2xの区間0≦x≦tにおける最大値と最小値を求めてください． （次のア～シに入るものを下の選択肢で選んでください．暗算ではできません．各自で計算用紙を使ってください．） 0<t<アのとき，x=イで最大値ウをとる t≧エのとき，x=オで最大値カをとる 0<t<キのとき，x=クで最小値ケをとる t≧コのとき，x=サで最小値シをとる 解説・解答 ア 0 1 2 t −t2+2t イ 0 1 2 t −t2+2t ウ 0 1 2 t −t2+2t エ 0 1 2 t −t2+2t オ 0 1 2 t −t2+2t カ 0 1 2 t −t2+2t キ 0 1 2 t −t2+2t ク 0 1 2 t −t2+2t ケ 0 1 2 t −t2+2t コ 0 1 2 t −t2+2t サ 0 1 2 t −t2+2t シ 0 1 2 t −t2+2t	tの現在値:0.5 y=−x2+2x=−(x−1)2+1の頂点は(1, 1)にある． ○最大値 0<t<1のとき，x=tで最大値f(t)=−t2+2tをとる t≧1のとき，x=1で最大値f(1)=1をとる ○最小値 0<t<2のとき，x=0で最小値f(0)=0をとる t≧2のとき，x=tで最小値f(t)=−t2+2tをとる

【例題２】 　右図２は，２次関数y=f(x)=(x−1)2のグラフのうちでt≦x≦t+1の区間を赤色で示し，他の区間を灰色で示したものです． t>0のとき，この関数の区間t≦x≦t+1における最小値と最大値を求めてください． （tの値は，初め−0.5になっていますが，赤で示したスケールをクリックすると変更できます．） （解説） ○最小値 *）区間の右端t+1が1になるまではtを少しずつ増やしていくと，右端で最小値になります． t+1≦1すなわちt≦0のとき，最小値はf(t)=t2 ※問題でt>0と指定されているから，以上の事柄は記述の必要なし． ア）0<t<1のときは，区間の中に減少の場所と増加の場所があり，x=1のとき最小になります． 0<t<1のとき，最小値はf(1)=0 イ）1≦tのときは，増加関数になり，左端x=tのとき最小になります． 1≦tのとき，最小値はf(t)=(t−1)2 ○最大値 ア）tが０以下の場合，区間の左端で最大値になります．この事情は，f(t)とf(t+1)とが等しくなるとき（t=0.5まで）続きます． 0<t<0.5のとき，最大値はf(t)=(t−1)2 イ）t=0.5のときは，左端と右端の値が等しくなります t=0.5のとき，最大値はf(0.5)=f(1.5)=0.25 ウ）0.5<tのときは，右端x=t+1のとき最大になります． 0.5<tのとき，最大値はf(t+1)=t2

*** 一定の幅の区間が動く場合 *** ≪図２≫ tの現在値:−0.5

問2２次関数y=−x2+2xの区間t≦x≦t+1における最大値と最小値を求めてください． （次のア～シに入るものを下の選択肢で選んでください．暗算ではできません．各自で計算用紙を使ってください．） 解説・解答 ○最大値 t<アのとき， x=イで最大値ウをとる ア 0 0.5 1 t t+1 −t2+1 −t2+2t イ 0 0.5 1 t t+1 −t2+1 −t2+2t ウ 0 0.5 1 t t+1 −t2+1 −t2+2t ア≦t≦エのとき， x=オで最大値カをとる エ 0 0.5 1 t t+1 −t2+1 −t2+2t オ 0 0.5 1 t t+1 −t2+1 −t2+2t カ 0 0.5 1 t t+1 −t2+1 −t2+2t エ<tのとき， x=キで最大値クをとる キ 0 0.5 1 t t+1 −t2+1 −t2+2t ク 0 0.5 1 t t+1 −t2+1 −t2+2t ○最小値 t<ケのとき， x=コで最小値サをとる ケ 0 0.5 1 t t+1 −t2+1 −t2+2t コ 0 0.5 1 t t+1 −t2+1 −t2+2t サ 0 0.5 1 t t+1 −t2+1 −t2+2t ケ≦tのとき， x=シで最小値スをとる シ 0 0.5 1 t t+1 −t2+1 −t2+2t ス 0 0.5 1 t t+1 −t2+1 −t2+2t

aの現在値:−0.5 ○最大値 t<0のとき， x=t+1で最大値f(t+1)=−t2+1をとる 0≦t≦1のとき， x=1で最大値f(1)=1をとる 1<tのとき， x=tで最大値f(t)=−t2+2tをとる ○最小値 t<0.5のとき， x=tで最小値f(t)=−t2+2tをとる 0.5≦tのとき， x=t+1で最小値f(t+1)=−t2+1をとる

【例題３】 　右図３は，２次関数y=f(x)=(x−t)2−1のグラフのうちで0≦x≦1の区間を赤色で示し，他の区間を灰色で示したものです． tの値が変化するとき，この関数の区間0≦x≦1における最小値と最大値を求めてください． （tの値は，初め−0.5になっていますが，赤で示したスケールをクリックすると変更できます．） （解説） 頂点が(t, −1)にある谷形（下に凸な）放物線のうち0≦x≦1の区間を使う． ○最小値 ア）t<0のときは，0≦x≦1の区間では増加関数になっているので t<0のとき，最小値はf(0)=t2−1 イ）0≦t<1のときは，区間の中に減少の場所と増加の場所があり，x=tのとき最小になります． 0≦t<1のとき，最小値はf(t)=−1 ウ）1≦tのときは，減少関数になり，右端x=1のとき最小になります． 1≦tのとき，最小値はf(1)=(1−t)2−1=t2−2t ○最大値 ア）t<0のときは，0≦x≦1の区間では増加関数になっているので t<0のとき，最大値はf(1)=(1−t)2−1=t2−2t イ）0≦t<1のときは，区間の中に減少の場所と増加の場所があり，x=0, 1のとき最大になります． そのうちで，t<0.5のときはf(0)<f(1)，t>0.5のときはf(0)>f(1)になるから 0≦t<0.5のとき，最大値はf(1)=t2−2t 0.5≦t<1のとき，最大値はf(0)=t2−1 ウ）1≦tのときは，減少関数になり，左端x=0のとき最大になります． 1≦tのとき，最大値はf(0)=t2−1 ※答案にまとめるときは，t<0, 0≦t<0.5, 0.5≦tに分けるとよい．

*** 区間が固定されていて，グラフが変化する場合 *** ≪図３≫ tの現在値:−0.5

問３２次関数y=−(x−t)2+1の区間0≦x≦1における最大値と最小値を求めてください． （次のア～シに入るものを下の選択肢で選んでください．暗算ではできません．各自で計算用紙を使ってください．） 解説・解答 ○最大値 ア>tのとき，x=イで最大値ウをとる ア 0 0.5 1 t −t2+1 −t2+2t イ 0 0.5 1 t −t2+1 −t2+2t ウ 0 0.5 1 t −t2+1 −t2+2t ア≦t<エのとき，x=オで最大値カをとる エ 0 0.5 1 t −t2+1 −t2+2t オ 0 0.5 1 t −t2+1 −t2+2t カ 0 0.5 1 t −t2+1 −t2+2t エ≦tのとき，x=キで最大値クをとる キ 0 0.5 1 t −t2+1 −t2+2t ク 0 0.5 1 t −t2+1 −t2+2t ○最小値 t<ケのとき，x=コで最小値サをとる ケ 0 0.5 1 t −t2+1 −t2+2t コ 0 0.5 1 t −t2+1 −t2+2t サ 0 0.5 1 t −t2+1 −t2+2t ケ≦tのとき，x=シで最小値スをとる シ 0 0.5 1 t −t2+1 −t2+2t ス 0 0.5 1 t −t2+1 −t2+2t

aの現在値:−0.5 関数y=−(x−t)2+1 区間(0≦x≦1) ○最大値 t<0のとき， x=0で最大値f(0)=−t2+1をとる 0≦t<1のとき， x=tで最大値f(t)=1をとる 1≦tのとき， x=1で最大値f(1)=−t2+2tをとる ○最小値 t<0.5のとき， x=1で最小値f(1)=−t2+2tをとる 0.5≦tのとき， x=0で最小値f(0)=−t2+1をとる