高校数学・2次関数

平方完成(基本)

この教材は高校数学の基本問題中の平方完成(基本)という項目のバックアップ・コピーです．

【単元の目次】《数学Ⅰ》
• 数と式 • 根号計算 • 場合の数.順列.組合せ • ２次不等式 • ２次関数

【単元内の項目の目次】　　　　が現在地 • 2次関数のグラフ（初歩,入門） • 2次関数のグラフ（例題対比） • 2次関数の頂点の座標 • 放物線の頂点の座標（標準形） • 平行完成の変形1 • 平行完成の変形2 • 平行完成の変形3 • 2次関数の平行移動 • 放物線の移動 • 3点の座標→2次関数の形 • ２次関数の最大値・最小値（区間が指定されていないとき） • ２次関数の最大値・最小値（区間が固定されているとき1） • ２次関数の最大値・最小値（区間が固定されているとき2） • ２次関数の最大値・最小値（区間が変わるとき） • ２次関数の最大値・最小値（条件付など） • 2次関数のグラフと係数の符号 • 2次関数のセンター試験問題(2013～) • 2次関数の入試問題

♪♥ この教材は，高校数学の基本問題のうち，平行完成の変形2の「マイナーチェンジありカバー版」「パソコン用」ページです．
♫♣ 元の教材が通信トラブルなどで読めないときに，こちらを使ってください．なお，学習の記録は付いていません．

== 平方完成(2) ==

【平方完成の変形2】
$(x+ a)^2=x^2+ 2ax+ a^2$
だから，右辺から書くと
$x^2+ 2ax+ a^2=(x+ a)^2$
$a^2$ を移項すると
$x^2+ 2ax=(x+ a)^2-a^2$
$2a=A$ とおくと
$x^2+ Ax=(x+\frac{A}{2})^2-(\frac{A}{2})^2$ …(1)

【例題１】　次の式を平方完成してください．
x2+6x

（解答）
(A方式)　次のように考えるのが普通

(B方式)　数学が苦手な人は，つぎのように考えてもよい．

※数学がもっと²苦手な人は，１次のxを付けたままにしていることがありますが，それは完全な間違いです．
１次の係数だけを連れてきます．
x2+6x=(x+3x)2−9　←（間違い）
x2+6x=(x2+3x)2−9　←（間違い）
x2+6x=(x+3)2−9　←（正しい）

【問題１】　次の各式を平方完成してください．（下の選択肢から正しいものを選んでクリック）

(1) x2+2x

解説やり直す

(x+1)2−1 (x−1)2+1

(x+2)2−4 (x−2)2+4

(A) →（１次の係数の半分）→（さらにその２乗）と考える場合
x2+2x=(x+1)2−12=(x+1)2−1…（答）
(B) →（とにかく２乗の展開式を作ることから始める場合）
x2+2x=x2+2·1·x+12−12=(x+1)2−1…（答）

→閉じる←

(2) x2+4x

解説やり直す

(x+1)2−1 (x+2)2−4

(x+4)2−16 (x+8)2−16

(A) →（１次の係数の半分）→（さらにその２乗）と考える場合
x2+4x=(x+2)2−22=(x+2)2−4…（答）
(B) →（とにかく２乗の展開式を作ることから始める場合）
x2+4x=x2+2·2·x+22−22=(x+2)2−4…（答）

→閉じる←

(3) x2+8x

解説やり直す

(x+4)2−2 (x+4)2−4

(x+4)2−8 (x+4)2−16

(A) →（１次の係数の半分）→（さらにその２乗）と考える場合
x2+8x=(x+4)2−42=(x+4)2−16…（答）
(B) →（とにかく２乗の展開式を作ることから始める場合）
x2+8x=x2+2·4·x+42−42=(x+4)2−16…（答）

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【平方完成の変形2】
先に述べた公式(1)は， $A$ が負の数でも成り立つが，符号で間違う生徒が多いので，分けて書いてみると．

$(x-a)^2=x^2-2ax+ a^2$

ここのところで， $+ a^2$ となることが最後まで影響する

右辺から書くと
$x^2-2ax+ a^2=(x-a)^2$
$a^2$ を移項すると
$x^2-2ax=(x-a)^2-a^2$
$2a=A$ とおくと
$x^2-Ax=(x-\frac{A}{2})^2-(\frac{A}{2})^2$ …(2)

このように， $x^2-Ax$ を平方完成した場合も，最後が「引き算になる」ことに注意

【例題２】　次の式を平方完成してください．
x2−8x

（解答）

(A方式)
(x−4)2−42=(x−4)2−16

(B方式)
とにかく2乗の展開式を作ると x2−8x+16だから
x2−8x+16−16
=(x−4)2−16

** 危険な落とし穴 **
カッコ内のマイナスをプラスで打ち消そうとしてはダメ
(x−4)2+16は×
(x−4)2−16が○

(x−4)2=x2−8x+16
だから「引かないと合わない」

【問題２】　次の各式を平方完成してください．（下の選択肢から正しいものを選んでクリック）

(1) x2−4x

解説やり直す

(x−2)2+4 (x−2)2−4

(x−4)2+16 (x−4)2−16

(A) →（１次の係数の半分）→（さらにその２乗）と考える場合
x2−4x=(x−2)2−22=(x−2)2−4…（答）
(B) →（とにかく２乗の展開式を作ることから始める場合）
x2−4x=x2−2·2·x+22−22=(x−2)2−4…（答）

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(2) x2−10x

解説やり直す

(x−5)2+25 (x−5)2−25

(x−10)2+100 (x−10)2−100

(A) →（１次の係数の半分）→（さらにその２乗）と考える場合
x2−10x=(x−5)2−52=(x−5)2−25…（答）
(B) →（とにかく２乗の展開式を作ることから始める場合）
x2−10x=x2−2·5·x+52−52=(x−5)2−25…（答）

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(3) x2−6x

解説やり直す

(x−6)2+12 (x−6)2−36

(x−3)2−6 (x−3)2−9

(A) →（１次の係数の半分）→（さらにその２乗）と考える場合
x2−6x=(x−3)2−32=(x−3)2−9…（答）
(B) →（とにかく２乗の展開式を作ることから始める場合）
x2−6x=x2−2·3·x+32−32=(x−3)2−9…（答）

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【例題３】　次の式を平方完成してください．
x2+3x

（解答）
１次の係数が奇数：3のときは，その半分は分数になる．
$x^2+ 3x=(x+ \frac{3}{2})^2-(\frac{3}{2})^2=(x+ \frac{3}{2})^2-\frac{9}{4}$
(B方式なら)
$x^2+ 3x=x^2+ 2\cdot\frac{3}{2}x+(\frac{3}{2})^2-(\frac{3}{2})^2$
$=(x+ \frac{3}{2})^2-(\frac{3}{2})^2=(x+ \frac{3}{2})^2-\frac{9}{4}$

【問題３】　次の各式を平方完成してください．（下の選択肢から正しいものを選んでクリック）

ここら辺から暗算では無理になりますので，計算用紙を使って計算してから答えてください．
まぐれで当たっても実力は付きません．

(1) $x^2+ 5x$

解説やり直す

$(x+ 5)^2-\frac{5}{2}$ $(x+ 5)^2-5$

$(x+\frac{5}{2})^2-5$ $(x+\frac{5}{2})^2-\frac{25}{4}$

(A) →（１次の係数の半分）→（さらにその２乗）と考える場合
$x^2+ 5x=(x+\frac{5}{2})^2-(\frac{5}{2})^2=(x+\frac{5}{2})^2-\frac{25}{4}$ …（答）
(B) →（とにかく２乗の展開式を作ることから始める場合）
$x^2+ 5x=x^2+ 2\cdot\frac{5}{2}x+(\frac{5}{2})^2-(\frac{5}{2})^2$
$=(x+ \frac{5}{2})^2-\frac{25}{4}$ …（答）

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(2) $x^2+ 9x$

解説やり直す

$(x+ 9)^2-18$ $(x+ 9)^2-81$

$(x+\frac{9}{2})^2-5$ $(x+\frac{9}{2})^2-\frac{81}{4}$

(A) →（１次の係数の半分）→（さらにその２乗）と考える場合
$x^2+ 9x=(x+\frac{9}{2})^2-(\frac{9}{2})^2=(x+\frac{9}{2})^2-\frac{81}{4}$ …（答）
(B) →（とにかく２乗の展開式を作ることから始める場合）
$x^2+ 9x=x^2+ 2\cdot\frac{9}{2}x+(\frac{9}{2})^2-(\frac{9}{2})^2$
$=(x+ \frac{9}{2})^2-\frac{81}{4}$ …（答）

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(3) $x^2+ x$

解説やり直す

$(x+\frac{1}{2})^2-\frac{1}{2}$ $(x+\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}$

$(x+ 1)^2-1$ $(x+ 1)^2-\frac{1}{4}$

(A) →（１次の係数の半分）→（さらにその２乗）と考える場合
$x^2+ x=(x+\frac{1}{2})^2-(\frac{1}{2})^2=(x+\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}$ …（答）
(B) →（とにかく２乗の展開式を作ることから始める場合）
$x^2+ x=x^2+ 2\cdot\frac{1}{2}x+(\frac{1}{2})^2-(\frac{1}{2})^2$
$=(x+ \frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}$ …（答）

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【例題４】　次の式を平方完成してください．
x2−5x

（解答）
１次の係数が奇数：5のときは，その半分は分数になる．
$x^2-5x=(x-\frac{5}{2})^2-(\frac{5}{2})^2=(x-\frac{5}{2})^2-\frac{25}{4}$
(B方式なら)
$x^2-5x=x^2-2\cdot\frac{5}{2}x+(\frac{5}{2})^2-(\frac{5}{2})^2$
$=(x-\frac{5}{2})^2-(\frac{5}{2})^2=(x-\frac{5}{2})^2-\frac{25}{4}$

【問題４】　次の各式を平方完成してください．（下の選択肢から正しいものを選んでクリック）

(1) $x^2-3x$

解説やり直す

$(x-3)^2-\frac{3}{2}$ $(x-3)^2-\frac{3}{4}$

$(x-\frac{3}{2})^2+\frac{9}{4}$ $(x-\frac{3}{2})^2-\frac{9}{4}$

(A) →（１次の係数の半分）→（さらにその２乗）と考える場合
$x^2-3x=(x-\frac{3}{2})^2-(\frac{3}{2})^2=(x-\frac{3}{2})^2-\frac{9}{4}$ …（答）
(B) →（とにかく２乗の展開式を作ることから始める場合）
$x^2-3x=x^2-2\cdot\frac{3}{2}x+(\frac{3}{2})^2-(\frac{3}{2})^2$
$=(x-\frac{3}{2})^2-\frac{9}{4}$ …（答）

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(2) $x^2-7x$

解説やり直す

$(x-\frac{7}{2})^2-\frac{49}{2}$ $(x-\frac{7}{2})^2-\frac{49}{4}$

$(x-7)^2+\frac{7}{2}$ $(x-7)^2-\frac{49}{4}$

(A) →（１次の係数の半分）→（さらにその２乗）と考える場合
$x^2-7x=(x-\frac{7}{2})^2-(\frac{7}{2})^2=(x-\frac{7}{2})^2-\frac{49}{4}$ …（答）
(B) →（とにかく２乗の展開式を作ることから始める場合）
$x^2-7x=x^2-2\cdot\frac{7}{2}x+(\frac{7}{2})^2-(\frac{7}{2})^2$
$=(x-\frac{7}{2})^2-\frac{49}{4}$ …（答）

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(3) $x^2-\frac{1}{2}x$

解説やり直す

$(x-\frac{1}{2})^2-1$ $(x-\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}$

$(x-\frac{1}{4})^2-\frac{1}{2}$ $(x-\frac{1}{4})^2-\frac{1}{16}$

(A) →（１次の係数の半分）→（さらにその２乗）と考える場合
$x^2-\frac{1}{2}x=(x-\frac{1}{4})^2-(\frac{1}{4})^2=(x-\frac{1}{4})^2-\frac{1}{16}$ …（答）
(B) →（とにかく２乗の展開式を作ることから始める場合）
$x^2-\frac{1}{2}x=x^2-2\cdot\frac{1}{4}x+(\frac{1}{4})^2-(\frac{1}{4})^2$
$=(x-\frac{1}{4})^2-\frac{1}{16}$ …（答）

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【平方完成の変形3】
x2の係数が1以外のとき，平方完成の変形を行うには，初めにその係数をくくり出してx2の係数が1になるようにします．
【例】　 $2x^2+ 4x=2(x^2+ 2x)$
この形にしてから，（　　）の中を今までやってきた方法で平方完成します．
$=2\{(x+ 1)^2-1\}$
最終的に答えの形にするときは「外側の｛　　｝をはずして」答えます．
$=2(x+ 1)^2-2$
※内側の（　　）をはずしてしまうと，元に戻ってしまうので注意．

【変形の注意点】

1)　かっこを「はずす」ときは，係数を「掛ける」ので，
その逆にかっこで「くくる」ときは，係数で「割ります」．

かっこをはずす→ $3(x^2+ 2x)=3x^2+ 6x$
かっこでくくる→ $3x^2+ 6x=3(x^2+ 2x)$

2)　マイナスの係数でくくるときは，１次の係数の符号も変わります．

間違い計算→ $-3x^2+ 6x=-3(x^2+ 2x)$

※この計算間違いはビックリするほど多いので気を付けましょう！

正しい計算→ $-3x^2+ 6x=-3(x^2-2x)$

3)　整数の係数でくくるとき，係数はその整数で「割ったもの」になります．
これに対して，分数の係数でくくるとき，係数はその分数で「割ったもの」になります．分数で割るには逆数を掛けます．

整数でくくる→ $3x^2+ 6x=3(x^2+ 2x)$
分数でくくる→ $\frac{1}{3}x^2+ 2x=\frac{1}{3}(x^2+ 6x)$
※「あやしい」「よくわからない」と思ったら，かっこをはずしたときに元に戻るかどうか目で確かめるようにします．

※マイナスの符号と分数の係数が混ざると，間違いが非常に多くなる傾向がありますので，幾つか例を示しておきます．
$\frac{1}{2}x^2+ x=\frac{1}{2}(x^2+ 2x)$
$\frac{1}{2}x^2-4x=\frac{1}{2}(x^2-8x)$
$-\frac{1}{2}x^2+ 6x=-\frac{1}{2}(x^2-12x)$
$-\frac{1}{2}x^2-5x=-\frac{1}{2}(x^2+ 10x)$

4)　定数項があるとき，定数項は平方完成の計算に参加せずに外に置いたままにします．

定数項があるときに，かっこの内側に入れてしまうと，最後に再び外側に出さなければなりません．
出したり入れたりすると，計算間違いの元ですから，外に置いたままにして，平方完成から出てくる定数項と差し引きして答えます．
まずい計算→ $2x^2+ 4x+ 1=2(x^2+ 2x+ \frac{1}{2})$
$=2\{(x+ 1)^2-1+\frac{1}{2}\}$
$=2\{(x+ 1)^2-\frac{1}{2}\}$
$=2(x+ 1)^2-1$
よい計算→ $2x^2+ 4x+ 1=2(x^2+ 2x)+ 1$
$=2\{(x+ 1)^2-1\}+ 1$
$=2(x+ 1)^2-2+ 1$
$=2(x+ 1)^2-1$

【問題５】　次の各式を平方完成してください．（下の選択肢から正しいものを選んでクリック）

(1) $2x^2+ 4x$

解説やり直す

$2(x+ 2)^2-2$ $2(x+ 2)^2-4$

$2(x+ 1)^2-1$ $2(x+ 1)^2-2$

$2x^2+ 4x=2(x^2+ 2x)$
$=2\{(x+ 1)^2-1\}$
$=2(x+ 1)^2-2$ …（答）

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(2) $3x^2-12x$

解説やり直す

$3(x-2)^2-4$ $3(x-2)^2-12$

$3(x-6)^2-9$ $3(x-6)^2-36$

$3x^2-12x=3(x^2-4x)$
$=3\{(x-2)^2-4\}$
$=3(x-2)^2-12$ …（答）

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(3) $-x^2+ 6x$

解説やり直す

$-(x-3)^2-9$ $-(x-3)^2+ 9$

$-(x+ 3)^2-9$ $-(x+ 3)^2+ 9$

$-x^2+ 6x=-(x^2-6x)$
$=-\{(x-3)^2-9\}$
$=-(x-3)^2+ 9$ …（答）

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(4) $-2x^2-8x$

解説やり直す

$-2(x+ 2)^2+ 8$ $-2(x+ 2)^2-8$

$-2(x-2)^2+ 8$ $-2(x-2)^2-8$

$-2x^2-8x=-2(x^2+ 4x)$
$=-2\{(x+ 2)^2-4\}$
$=-2(x+ 2)^2+ 8$ …（答）

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【問題６】　次の各式を平方完成してください．（下の選択肢から正しいものを選んでクリック）

暗算ではできません．計算用紙を使って計算してから答てください．
まぐれで正解になっても実力は付きません．

(1) $\frac{1}{2}x^2+ 2x$

解説やり直す

$\frac{1}{2}(x+ 1)^2-1$ $\frac{1}{2}(x+ 1)^2-2$

$\frac{1}{2}(x+ 2)^2-2$ $\frac{1}{2}(x+ 2)^2-4$

$\frac{1}{2}x^2+ 2x=\frac{1}{2}(x^2+ 4x)$
$=\frac{1}{2}\{(x+ 2)^2-4\}$
$=\frac{1}{2}(x+ 2)^2-2$ …（答）

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(2) $\frac{1}{3}x^2-2x$

解説やり直す

$\frac{1}{3}(x-1)^2-1$ $\frac{1}{3}(x-1)^2-3$

$\frac{1}{3}(x-3)^2-3$ $\frac{1}{3}(x-3)^2-9$

$\frac{1}{3}x^2-2x=\frac{1}{3}(x^2-6x)$
$=\frac{1}{3}\{(x-3)^2-9\}$
$=\frac{1}{3}(x-3)^2-3$ …（答）

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(3) $-\frac{1}{2}x^2+ x$

解説やり直す

$-\frac{1}{2}(x-1)^2+\frac{1}{2}$ $-\frac{1}{2}(x+ 1)^2-\frac{1}{2}$

$-\frac{1}{2}(x-2)^2+ 1$ $-\frac{1}{2}(x+ 2)^2-1$

$-\frac{1}{2}x^2+ x=-\frac{1}{2}(x^2-2x)$
$=-\frac{1}{2}\{(x-1)^2-1\}$
$=-\frac{1}{2}(x-1)^2+\frac{1}{2}$ …（答）

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(4) $-\frac{2}{3}x^2-4x$

解説やり直す

$-\frac{2}{3}(x-3)^2+ 6$ $-\frac{2}{3}(x-3)^2-6$

$-\frac{2}{3}(x+ 3)^2+ 6$ $-\frac{2}{3}(x+ 3)^2-6$

$-\frac{2}{3}x^2-4x=-\frac{2}{3}(x^2+ 6x)$
$=-\frac{2}{3}\{(x+ 3)^2-9\}$
$=-\frac{2}{3}(x+ 3)^2+ 6$ …（答）

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【問題７】　次の各式を平方完成してください．（下の選択肢から正しいものを選んでクリック）

(1) $2x^2+ 8x+ 5$

解説やり直す

$2(x+ 2)^2-4$ $2(x+ 2)^2-3$

$2(x+ 2)^2+ 1$ $2(x+ 2)^2+ 3$

$2x^2+ 8x+ 5=2(x^2+ 4x)+ 5$
$=2\{(x+ 2)^2-4\}+ 5$
$=2(x+ 2)^2-8+ 5=2(x+ 2)^2-3$ …（答）

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(2) $2x^2-4x+ 3$

解説やり直す

$2(x-1)^2+ 1$ $2(x-1)^2+ 2$

$2(x-1)^2-1$ $2(x-1)^2-2$

$2x^2-4x+ 3=2(x^2-2x)+ 3$
$=2\{(x-1)^2-1\}+ 3$
$=2(x-1)^2-2+ 3=2(x-1)^2+ 1$ …（答）

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(3) $x^2-3x+ 1$

解説やり直す

$(x-3)^2-8$ $(x-3)^2+ 10$

$(x-\frac{3}{2})^2-\frac{5}{2}$ $(x-\frac{3}{2})^2-\frac{5}{4}$

$x^2-3x+ 1=(x-\frac{3}{2})^2-\frac{9}{4}+ 1$
$=(x-\frac{3}{2})^2-\frac{5}{4}$ …（答）

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(4) $-x^2+ x-2$

解説やり直す

$-(x+ 1)^2-3$ $-(x-1)^2-1$

$-(x-\frac{1}{2})^2-\frac{7}{4}$ $-(x-\frac{1}{2})^2-\frac{9}{4}$

$-x^2+ x-2=-(x^2-x)-2$
$=-\{(x-\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}\}-2$
$=-(x-\frac{1}{2})^2+\frac{1}{4}-2=-(x-\frac{1}{2})^2-\frac{7}{4}$ …（答）

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