高校数学・2次関数

【単元の目次】 《数学Ⅰ》 • 数と式 • 根号計算 • 場合の数.順列.組合せ • ２次不等式 • ２次関数 【単元内の項目の目次】　　　　が現在地 • 2次関数のグラフ（初歩,入門） • 2次関数のグラフ（例題対比） • 2次関数の頂点の座標 • 放物線の頂点の座標（標準形） • 平行完成の変形1 • 平行完成の変形2 • 平行完成の変形3 • 2次関数の平行移動 • 放物線の移動 • 3点の座標→2次関数の形 • ２次関数の最大値・最小値（区間が指定されていないとき） • ２次関数の最大値・最小値（区間が固定されているとき1） • ２次関数の最大値・最小値（区間が固定されているとき2） • ２次関数の最大値・最小値（区間が変わるとき） • ２次関数の最大値・最小値（条件付など） • 2次関数のグラフと係数の符号 • 2次関数のセンター試験問題(2013～) • 2次関数の入試問題 ♪♥ この教材は，高校数学の基本問題のうち，（例題対比）放物線の頂点の座標の「マイナーチェンジありカバー版」「パソコン用」ページです． ♫♣ 元の教材が通信トラブルなどで読めないときに，こちらを使ってください．なお，学習の記録は付いていません．

■（例題対比）放物線の頂点の座標 ［標準形］ ○　y=a(x−p)2+q のグラフは y=ax2 のグラフを x 軸の正の向きに p ，y 軸の正の向きに q だけ平行移動したもので，その頂点の座標は (p , q) である．　図1→ ○　２次関数のグラフ（放物線）は左右対称になっており，この対称軸を放物線の軸という． 　y 軸に平行（ x 軸に垂直 ）な直線の方程式は，x=p の形で表わされるので，放物線の軸の方程式は右図のように x=1 , x=2 , x=3 などと書かれる． 図2→ 　放物線の軸の方程式 x=p における p の値は頂点の x 座標に等しい．そこで，頂点の座標が分かれば軸の方程式も分かる． ［例題1］　次の２次関数の軸の方程式と頂点の座標を求めよ． (1)　y=2(x−3)2+4 （答案） ____軸 x=3，頂点 (3 , 4) …（答） (2)　y=3(x+4)2+5 （答案） ____軸 x=−4，頂点 (−4 , 5) …（答） （x 座標の符号に注意． y=3(x−(− 4))2+5）と読む． (3)　y=−4(x−5)2−6 （答案） ____軸 x=5，頂点 (5 , −6) …（答） （x2 の係数 − 4 はグラフの「形」（上に凸）だけに関係しており頂点の座標には関係ない．） (4)　y= (x−3)2 （答案） ____軸 x=3，頂点 (3 , 0) …（答） （頂点が x 軸上にあるとき，このような式になる． y= (x−3)2+0 と読む．） (5)　y=− x2+4 （答案） ____軸 x=0，頂点 (0 , 4) …（答） （頂点が y 軸上にあるとき，このような式になる． y=− (x−0)2+4 と読む．） ［問題1］　次の２次関数の軸の方程式と頂点の座標を求めよ． (1)　y=3(x−5)2+2 _軸の方程式 x=，頂点の座標 (, ) 採点する やり直す解答 軸の方程式 x=5 頂点の座標 (5, 2) 閉じる (2)　y=−3(x−2)2+6 _軸の方程式 x=，頂点の座標 (, ) 採点する やり直す解答 軸の方程式 x=2 頂点の座標 (2, 6) 閉じる (3)　y=4(x+3)2+1 _軸の方程式 x=，頂点の座標 (, ) 採点する やり直す解答 軸の方程式 x=−3 頂点の座標 (−3, 1) 閉じる

図1 図2 ※　軸は「直線の方程式」として表わし，単に 1 や 2 とは書かずに，x=1，x=2 などと書く． (4)　y=− (x− )2− 軸の方程式 ，頂点の座標 ，− 採点する やり直す解答 軸の方程式 頂点の座標 閉じる (5)　y=−5(x+3)2 ___軸の方程式 x=，頂点の座標 (, ) 採点する やり直す解答 軸の方程式 x=−3 頂点の座標 (−3, 0) 閉じる (6)　y=−x2−3 ___軸の方程式 x=，頂点の座標 (, ) 採点する やり直す解答 軸の方程式 x=0 頂点の座標 (0, −3) 閉じる

［展開形］ 　２次関数が展開形で書かれているときは，これを平方完成して標準形に直せば軸の方程式，頂点の座標が分かる． ax2+bx+c=a(x2+ x)+c ____=a{ (x+ )2− }+c _____=a(x+ )2−a +c _____=a(x+ )2− ※　実際に問題を解くときには，この公式を丸暗記するのでなく，具体的な係数に応じて平方完成の変形をするとよい．（上の結果を公式として丸暗記するのは大変だから） ［例題2］　次の２次関数の軸の方程式と頂点の座標を求めよ． (1)　y=2x2+4x+7 （答案） ____y=2x2+4x+7=2(x2+2x)+7 ___________________=2{ (x+1)2−1}+7 ___________________=2(x+1)2−2+7 ___________________=2(x+1)2+5 ___________________軸 x=−1，頂点 (−1 , 5) …（答） ［問題2］　次の２次関数の軸の方程式と頂点の座標を求めよ． (1)　y=3x2−6x+4 ________軸の方程式 x=，頂点の座標 (, ) 採点する やり直す 解説 ________y=3x2−6x+4=3(x2−2x)+4 ________=3{(x−1)2−1}+4=3(x−1)2−3+4 ________=3(x−1)2+1 軸の方程式 x=1 頂点の座標 (1, 1) 閉じる

(2)　y=−2x2+8x ________軸の方程式 x=，頂点の座標 (, ) 採点する やり直す 解説 y=−2x2+8x=−2(x2−4x) =−2{(x−2)2−4}=−2(x−2)2+8 軸の方程式 x=2 頂点の座標 (2, 8) 閉じる (3)　y=−x2−x+3 軸の方程式 ，頂点の座標 ，− 採点する やり直す 解説 y=−x2−x+3=−(x2+x)+3 =−{(x+ )2− }+3=−(x+ )2+ +3 =−(x+ )2+ 軸の方程式 頂点の座標 閉じる (4)　y=− x2+4x 軸の方程式 x=，頂点の座標 (, ) 採点する やり直す 解説 y=− (x2−8x)=− {(x−4)2−16} =− (x−4)2+8 軸の方程式 x=4 頂点の座標 (4, 8) 閉じる